Теорема Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция [math]\displaystyle{ \textstyle f(x) }[/math] непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math] и [math]\displaystyle{ \textstyle \Phi(x) }[/math] — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) \, dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigg.\Phi(x)\Bigg|_a^b }[/math]

Доказательство

Пусть на отрезке [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math] задана интегрируемая функция [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math].

Зададим произвольное значение [math]\displaystyle{ \textstyle x \in \left [ a,b \right ] }[/math] и определим новую функцию [math]\displaystyle{ \textstyle F(x) = \int\limits_a^x f(t) \,dt }[/math]. Она определена для всех значений [math]\displaystyle{ \textstyle x \in \left [ a,b \right ] }[/math], потому что мы знаем, что если существует интеграл от [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] на [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math], то существует также интеграл от [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] на [math]\displaystyle{ \left [ a,x \right ] }[/math], где [math]\displaystyle{ a \leqslant x \leqslant b }[/math]. Напомним, что мы считаем по определению

[math]\displaystyle{ F(a) = \int\limits_a^a f(t)\,dt = 0 }[/math] (1)

Заметим, что

[math]\displaystyle{ F(b) = \int\limits_a^b f(t)\,dt }[/math]

Покажем, что [math]\displaystyle{ \textstyle F }[/math] непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math]. В самом деле, пусть [math]\displaystyle{ x, x + h \in \left [ a,b \right ] }[/math]; тогда

[math]\displaystyle{ F(x + h) - F (x) = \int\limits_a^{(x+h)} f(t)\,dt - \int\limits_a^x f(t)\,dt = \int\limits_x^{(x+h)} f(t)\,dt }[/math]

и если [math]\displaystyle{ K = sup |f(t)|, a \leqslant t \leqslant b }[/math], то

[math]\displaystyle{ |F(x + h) - F (x)| \leqslant \bigg| \int\limits_x^{(x+h)} f(t)\,dt \bigg| \leqslant K |h|\to 0 , h\to 0 }[/math]

Таким образом, [math]\displaystyle{ \textstyle F }[/math] непрерывна на [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math] независимо от того, имеет или не имеет [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] разрывы; важно, что [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] интегрируема на [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math].

На рисунке изображён график [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math]. Площадь переменной фигуры [math]\displaystyle{ \textstyle aABx }[/math] равна [math]\displaystyle{ \textstyle F(x) }[/math]. Её приращение [math]\displaystyle{ \textstyle F(x + h) - F(x) }[/math] равно площади фигуры [math]\displaystyle{ \textstyle xBC(x + h) }[/math], которая в силу ограниченности [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math], очевидно, стремится к нулю при [math]\displaystyle{ h \to 0 }[/math] независимо от того, будет ли [math]\displaystyle{ \textstyle x }[/math] точкой непрерывности или разрыва [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math], например точкой [math]\displaystyle{ \textstyle x - d }[/math].

Пусть теперь функция [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] не только интегрируема на [math]\displaystyle{ \left [ a,x \right ] }[/math], но непрерывна в точке [math]\displaystyle{ x \in \left [ a,x \right ] }[/math]. Докажем, что тогда [math]\displaystyle{ \textstyle F }[/math] имеет в этой точке производную, равную

[math]\displaystyle{ \textstyle F'(x) = f (x) }[/math] (2)

В самом деле, для указанной точки [math]\displaystyle{ \textstyle x }[/math]

[math]\displaystyle{ \dfrac{F (x+h) - F (x)}{h} = \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} f(t)\,dt = \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} (f(x) +\eta (t)) \,dt }[/math] [math]\displaystyle{ =\dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} f(x)\,dt + \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} \eta(t)\,dt = f(x)+ o }[/math] (1) ,[math]\displaystyle{ h \to 0 }[/math] (3)

Мы положили [math]\displaystyle{ \textstyle f(t) = f (x) + \eta(t) }[/math], а так как [math]\displaystyle{ \textstyle f (x) }[/math] постоянная относительно [math]\displaystyle{ \textstyle t }[/math], то [math]\displaystyle{ \textstyle \int\limits_x^{x+h} f(x) \,dt = f(x)h }[/math]. Далее, в силу непрерывности [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ \textstyle x }[/math] для всякого [math]\displaystyle{ \textstyle \varepsilon \gt 0 }[/math] можно указать такое [math]\displaystyle{ \textstyle \delta }[/math], что [math]\displaystyle{ \textstyle |\eta(t)| \lt \varepsilon }[/math] для [math]\displaystyle{ \textstyle |x - t| \lt \delta }[/math].

Поэтому

[math]\displaystyle{ \left | \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} \eta(t)\,dt \right | \leqslant \dfrac{1}{|h|}|h|\varepsilon = \varepsilon , |h| \lt \delta }[/math]

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при [math]\displaystyle{ \textstyle h \to 0 }[/math].

Переход к пределу в (3) при [math]\displaystyle{ \textstyle h \to 0 }[/math] показывает существование производной от [math]\displaystyle{ \textstyle F }[/math] в точке [math]\displaystyle{ \textstyle x }[/math] и справедливость равенства (2). При [math]\displaystyle{ \textstyle x = a,b }[/math] речь здесь идёт соответственно о правой и левой производной.

Если функция [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] непрерывна на [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math], то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

[math]\displaystyle{ F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt }[/math] (4)

имеет производную, равную [math]\displaystyle{ \textstyle f(x): F'(x) = f(x) , a \leqslant x \leqslant b }[/math]. Следовательно, функция [math]\displaystyle{ \textstyle F(x) }[/math] есть первообразная для [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] на [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math].

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом, или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math] функция [math]\displaystyle{ \textstyle f }[/math] имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь [math]\displaystyle{ \textstyle \Phi }[/math] есть произвольная первообразная функции [math]\displaystyle{ \textstyle f(x) }[/math] на [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math]. Мы знаем, что [math]\displaystyle{ \textstyle \Phi(x) = F(x) + C }[/math] , где [math]\displaystyle{ \textstyle C }[/math] — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве [math]\displaystyle{ \textstyle x = a }[/math] и учитывая, что [math]\displaystyle{ \textstyle F(a) = 0 }[/math], получим [math]\displaystyle{ \textstyle \Phi(a) = C }[/math].

Таким образом, [math]\displaystyle{ \textstyle F(x) = \Phi(x) - \Phi(a) }[/math]. Но

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) \,dx = F(b) }[/math]

Поэтому

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\,dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi(x) \bigg| \begin{matrix}x = b \\ \\ x = a\end{matrix} }[/math]

Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция [math]\displaystyle{ \textstyle f(x) }[/math] интегрируема и имеет первообразную на отрезке [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math], [math]\displaystyle{ \textstyle \Phi(x) }[/math] — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) \, dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigg.\Phi(x)\Bigg|_a^b }[/math]

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная [math]\displaystyle{ x^2 \sin \frac{1}{x^2} }[/math], дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция [math]\displaystyle{ f }[/math] определена на отрезке [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math] за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция [math]\displaystyle{ F }[/math] называется обобщённой первообразной [math]\displaystyle{ f }[/math], если она:

• Непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ [a; b] }[/math]
• Во всех точках [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
• Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна [math]\displaystyle{ f }[/math].

Это определение не требует, чтобы производная [math]\displaystyle{ F }[/math] равнялась [math]\displaystyle{ f }[/math] во всех точках, где [math]\displaystyle{ F }[/math] дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] определена на [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math] везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция [math]\displaystyle{ \textstyle f(x) }[/math] интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке [math]\displaystyle{ \left [ a,b \right ] }[/math], [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \Bigg.F(x)\Bigg|_a^b }[/math]

Доказательство

Так как функция [math]\displaystyle{ f }[/math] интегрируема, можно рассмотреть любую последовательность разбиений с отмеченными точками, диаметр которых стремится к нулю. Предел интегральных сумм по ним будет равен интегралу.

Рассмотрим последовательность разбиений отрезка [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math] [math]\displaystyle{ \{ T_n \} }[/math] такую, что диаметр разбиения при [math]\displaystyle{ n \to + \infty }[/math] стремится к нулю. Включим в каждое из этих разбиений также точки отрезка [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], в которых [math]\displaystyle{ F }[/math] не дифференцируема или её производная не равна [math]\displaystyle{ f }[/math]. С этими допольнительными точками разбиения обозначим [math]\displaystyle{ T_n' }[/math].

Теперь зададим на них отмеченные точки. Фиксируем конкретное разбиение [math]\displaystyle{ T_n = \{a=x_0, \ldots, x_n=b \} }[/math]. Тогда, по условию, функция [math]\displaystyle{ F }[/math] непрерывна на каждом из отрезков [math]\displaystyle{ [x_{i-1};x_i] }[/math] и дифференцируема на интервалах [math]\displaystyle{ (x_{i-1};x_i) }[/math]. Условия теоремы Лагранжа соблюдены и, значит, существует такая точка [math]\displaystyle{ \xi_i \in (x_{i-1};x_i) }[/math], что [math]\displaystyle{ f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) = F(x_i) - F(x_{i-1}) }[/math]. Эти точки [math]\displaystyle{ \Xi_n = (\xi_1, \ldots, \xi_n) }[/math] возьмём в качестве отмеченных точек разбиения [math]\displaystyle{ T_n' }[/math]. Тогда интегральная сумма по такому разбиению будет равна [math]\displaystyle{ :\sigma(f,T_n',\Xi_n) = f(\xi_1)(x_1-x_0) + f(\xi_2)(x_2-x_1) + \ldots + f(\xi_n)(x_n-x_{n-1}) = -F(x_0) + F(x_1) - F(x_1) + F(x_2) - \ldots - F(x_{n-1}) + F(x_n) = F(x_n) - F(x_0) = F(b) - F(a) }[/math] Интегральная сумма каждого из размеченных разбиений (T_n',Xi_n) равна одному и тому же значению, следовательно, и предел этих сумм будет равен этому значению, то есть

[math]\displaystyle{ \int \limits_a^b f(x)\,dt = \lim_{n \to +\infty} \sigma(f,T_n',Xi_n) = F(b) - F(a) }[/math].

Приведённое доказательство интересно тем, что в нём не использовалась ни одно из свойств интеграла, кроме непосредственно его определения. Однако доказательство формулы Ньютона-Лейбница в классической формулировке оно не даёт: для этого необходимо дополнительно доказать, что любая непрерывная функция интегрируема и имеет первообразную.

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-1}^1 \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} \bigg|_{-1}^1 = -1-1 = -2, }[/math] хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции [math]\displaystyle{ -\frac{1}{x} }[/math] не является первообразной (даже обобщённой) для функции [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2} }[/math] на отрезке [math]\displaystyle{ [-1;1] }[/math] просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

История

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Значение

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно независимо от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл Лебега

Функция [math]\displaystyle{ F(x):=C+\int\limits_{a}^{x} f(t)dt }[/math] представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебега): [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] абсолютно непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] тогда и только тогда, когда существует интегрируемая на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] функция [math]\displaystyle{ g }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+\int\limits_{a}^{x} g(t)dt }[/math] при любом значении x от a до b.

Из этой теоремы вытекает, что если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] абсолютно непрерывна на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], то её производная существует почти всюду, интегрируема и удовлетворяет равенству:

[math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+\int\limits_{a}^{x} f'(t)dt }[/math], где [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math].

Некоторые следствия

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу.

Интегрирование по частям

Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] — абсолютно непрерывные функции на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int\limits_{a}^{b} f(x)g'(x)dx }[/math].

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница.

Вариации и обобщения

• Теорема Стокса
• Дискретная теорема Грина

См. также

• Основная теорема алгебры
• Основная теорема арифметики

Литература

• Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.