Теорема Адамара — Картана
Теорема Адамара — Картана — утверждение о том, что универсальное накрытие риманова многообразия с неположительной кривизной диффеоморфно евклидову пространству.
История
Для поверхностей в евклидовом пространстве теорема была доказана фон Мангольдтом в 1881 году[1], и независимо Адамаром в 1898 году[2]. Общий случай был доказан Картаном в 1928 году[3].
Обобщения на метрические пространства в разной общности были получены Буземаном[4][5] и Риновом[6], Громовым[7], а также Александер и Бишопом[8].
Формулировка
Теорема Картана — Адамара утверждает, что пространство универсального накрытия связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно евклидову пространству. Более того, экспоненциальное отображение в любой точке является диффеоморфизмом.
Вариации и обобщения
- Теорема обобщается на гильбертовы многообразия в том смысле, что экспоненциальное отображение является универсальным накрытием. При этом полнота понимается в том смысле, что экспоненциальный отображение определено на всём касательном пространстве к точке.
- Теорема Картана — Адамара для метрических пространств: метрическое пространство Х с неположительной кривизной в смысле Александрова является CAT(0)-пространством.
- В частности, если X односвязно, то любые две точки в нём соединяются единственной геодезической, а значит, X является стягиваемым.
Предположение о неположительной кривизны может быть ослаблено[8]. Назовём метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух геодезических a(t) и b(t) функция
- [math]\displaystyle{ t\mapsto d(a(t),b(t)) }[/math]
является выпуклой функцией от t. Метрическое пространство называется локально выпуклым, если каждая его точка имеет окрестность, которая является выпуклой в этом смысле. Теорема Картана — Адамара для локально выпуклых пространств формулируется следующим образом:
- Если X является локально выпуклым полным связным метрическим пространством, то универсальное накрытие X является выпуклым геодезическим пространством по отношению к индуцированной внутренней метрике.
- В частности, универсальное накрытие такого пространства стягиваемо.
Примечания
- ↑ Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (нем.) // J. Reine Angew. Math.. — 1881. — Bd. 91. — S. 23–53.
- ↑ Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1898. — Vol. 26. — P. 195-216. Архивировано 3 июня 2018 года.
- ↑ Cartan, Élie. Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1928. — vi+273 с.
- ↑ Busemann, H. Spaces with non-positive curvature. Acta Mathematica 80 (1948), 259--310.
- ↑ Буземан Г. Геометрия геодезических. — 1962.
- ↑ Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961.
- ↑ Gromov, M. Hyperbolic groups. Essays in group theory. (англ.) // Math. Sci. Res. Inst. Publ.. — New York: Springer, 1987. — Vol. 8. — P. 75–263.
- ↑ 8,0 8,1 S. B. Alexander, R. L. Bishop. The Hadamard—Cartan theorem in locally convex metric spaces // Enseign. Math. (2). — 1990. — Т. 36, вып. 3—4. — С. 309—320.