Секционная кривизна

Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.

Определение

Секционная кривизна — это функция [math]\displaystyle{ K(\sigma) }[/math], которая зависит от секционного направления [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в [math]\displaystyle{ p }[/math]). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке [math]\displaystyle{ p }[/math].

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ v,\;u }[/math] — два линейно независимых вектора в [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], то

  [math]\displaystyle{ K(\sigma)= K(u,\;v)/|u\wedge v|^2, }[/math] где [math]\displaystyle{ K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u \rangle, }[/math]

а [math]\displaystyle{ R(u,\;v) }[/math] обозначает преобразование кривизны.

• • Эту формулу можно переписать следующим образом

    [math]\displaystyle{ K(\sigma)={\langle R(u,v)v,u\rangle\over \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle-\langle u,v\rangle^2}. }[/math]

• Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

  [math]\displaystyle{ 6\cdot\langle R(u,\;v)w,\;z \rangle = }[/math]

  [math]\displaystyle{ [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,- }[/math]

  [math]\displaystyle{ [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)]. }[/math]

  • более простой форме, используя частные производные:

    [math]\displaystyle{ \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=\frac 16\cdot \left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}. }[/math]

• Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.