Бесконечномерное пространство
Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам[1].
Определение
Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа [math]\displaystyle{ N \gt 0 }[/math] в нем найдется линейно независимая система, состоящая из [math]\displaystyle{ N }[/math] векторов[2][3].
Базис
Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.
Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов [math]\displaystyle{ \left \{ e_{k} \right \} }[/math] образует базис Шаудера пространства [math]\displaystyle{ E }[/math], если каждый элемент [math]\displaystyle{ x \in E }[/math] представим единственным образом в виде сходящегося ряда [math]\displaystyle{ x = \sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e_{k} }[/math][4]. Базис Шаудера существует не всегда.
Примеры
- Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций[2].
- Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел [math]\displaystyle{ x = ( \xi_{1}, ..., \xi_{k}, ... ) }[/math] со сходящейся суммой квадратов [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\xi_{n}^{2} \lt \infty }[/math][5].
- Множество всех многочленов[6].
- Фазовое пространство в статистической физике является почти бесконечномерным.[7]
- Пространство квадратично-суммируемых последовательностей
Свойства
- Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному[8].
См. также
Примечания
- ↑ Функциональный анализ // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613-615
- ↑ 2,0 2,1 Ефимов, 2004, с. 33.
- ↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17
- ↑ Крейн, 1964, с. 74.
- ↑ Шилов, 1961, с. 182.
- ↑ Ефимов, 2004, с. 42.
- ↑ Манин Ю.И. Математика как метафора. — М., МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-287-9. — с. 148
- ↑ Ефимов, 2004, с. 39.
Литература
- Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
- под ред. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964. — 424 с. — 17 500 экз.