Египетские дроби

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{16} }[/math].

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов[1]). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История

Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

D21

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

D21
Z1 Z1 Z1
[math]\displaystyle{ = \frac{1}{3} }[/math]
D21
V20
[math]\displaystyle{ = \frac{1}{10} }[/math]

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Aa13
[math]\displaystyle{ = \frac{1}{2} }[/math]
D22
[math]\displaystyle{ = \frac{2}{3} }[/math]
D23
[math]\displaystyle{ = \frac{3}{4} }[/math]

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:
D21
V1 V1 V1
V20 V20
V20 Z1
[math]\displaystyle{ = \frac{1}{331} }[/math]

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] разлагается на два слагаемых:

[math]\displaystyle{ \frac{m}{n} = \frac{1}{\lceil n/m\rceil} + \frac{(-n) \bmod m}{n \lceil n/m\rceil}. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \lceil n/m\rceil }[/math] — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а [math]\displaystyle{ (-n) \bmod m }[/math] — (положительный) остаток от деления −n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

[math]\displaystyle{ \frac{7}{15} = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{120}. }[/math]

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

[math]\displaystyle{ \frac{5}{121} = \frac{1}{25} + \frac{1}{757} + \frac{1}{763\,309} + \frac{1}{873\,960\,180\,913} + \frac{1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}, }[/math]

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению

[math]\displaystyle{ \frac{5}{121} = \frac{1}{33} + \frac{1}{121} + \frac{1}{363}. }[/math]

Современная теория чисел

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

  • В конце XX века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более
[math]\displaystyle{ O\left(\frac{y\log^2 y}{\log\log y}\right) }[/math]
(Tenenbaum & Yokota 1990) и с числом слагаемых не более
[math]\displaystyle{ O\left(\sqrt{\log y}\right) }[/math]
(Vose 1985).
  • Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого
    [math]\displaystyle{ \sum_{n\in S} \frac{1}{n} = 1. }[/math]
Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом[en] в 2003 году.

Открытые проблемы

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешённых математических проблем.

Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых

[math]\displaystyle{ \frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z. }[/math]

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех nN существует разложение

[math]\displaystyle{ \frac{k}{n} = \frac1x + \frac1y + \frac1z. }[/math]

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю[источник не указан 846 дней].

Примечания

Литература

Ссылки