Египетские дроби

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{16} }[/math].

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История

Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{10} }[/math]

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{2}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{3}{4} }[/math]

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{331} }[/math]

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] разлагается на два слагаемых:

[math]\displaystyle{ \frac{m}{n} = \frac{1}{\lceil n/m\rceil} + \frac{(-n) \bmod m}{n \lceil n/m\rceil}. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \lceil n/m\rceil }[/math] — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а [math]\displaystyle{ (-n) \bmod m }[/math] — (положительный) остаток от деления −n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

[math]\displaystyle{ \frac{7}{15} = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{120}. }[/math]

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

[math]\displaystyle{ \frac{5}{121} = \frac{1}{25} + \frac{1}{757} + \frac{1}{763\,309} + \frac{1}{873\,960\,180\,913} + \frac{1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}, }[/math]

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению

[math]\displaystyle{ \frac{5}{121} = \frac{1}{33} + \frac{1}{121} + \frac{1}{363}. }[/math]

Современная теория чисел

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

• В конце XX века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более

[math]\displaystyle{ O\left(\frac{y\log^2 y}{\log\log y}\right) }[/math]

(Tenenbaum & Yokota 1990) и с числом слагаемых не более

[math]\displaystyle{ O\left(\sqrt{\log y}\right) }[/math]

(Vose 1985).

• Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого

  [math]\displaystyle{ \sum_{n\in S} \frac{1}{n} = 1. }[/math]

Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом в 2003 году.

Открытые проблемы

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешённых математических проблем.

Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых

[math]\displaystyle{ \frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z. }[/math]

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 10¹⁴, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех n ≥ N существует разложение

[math]\displaystyle{ \frac{k}{n} = \frac1x + \frac1y + \frac1z. }[/math]

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю.

Литература

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Beeckmans, L. The splitting algorithm for Egyptian fractions (неопр.) // Journal of Number Theory. — 1993. — Т. 43. — С. 173—185.
• Botts, Truman. A chain reaction process in number theory (неопр.) // Mathematics Magazine. — 1967. — С. 55—65.
• Breusch, R. A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512 (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1954. — Vol. 61. — P. 200—201.
• Bruins, Evert M. Platon et la tabl égyptienne 2/n (неопр.) // Janus. — 1957. — Т. 46. — С. 253—263.
• Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, (англ.). — Holt, Reinhard, and Winston, 1953.
• Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs (неопр.). — Dover, 1982.
• Graham, R. L. On finite sums of reciprocals of distinct nth powers (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : journal. — 1964. — Vol. 14, no. 1. — P. 85—92. Архивировано 22 ноября 2009 года. Архивная копия от 22 ноября 2009 на Wayback Machine
• Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (нем.). — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
• Knorr, Wilbur R. Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece (англ.) // Historia Mathematica : journal. — 1982. — Vol. 9. — P. 133—171.
• Lüneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers (нем.). — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993.
• Martin, G. Dense Egyptian fractions (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1999. — Vol. 351. — P. 3641—3657.
• Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers (англ.). — MIT Press, 1969.
• Robins, Gay; Shute, Charles. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text (англ.). — Dover, 1990.
• Stewart, B. M. Sums of distinct divisors (неопр.) // American Journal of Mathematics. — 1954. — Т. 76. — С. 779—785.
• Stewart, I. The riddle of the vanishing camel (англ.) // Scientific American. — Springer Nature, 1992. — No. June. — P. 122—124.
• Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics (неопр.). — Dover, 1967. — С. 20—25.
• Takenouchi, T. On an indeterminate equation (неопр.) // Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser.. — 1921. — Т. 3. — С. 78—92.
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. Length and denominators of Egyptian fractions (неопр.) // Journal of Number Theory. — 1990. — Т. 35. — С. 150—156.
• Vose, M. Egyptian fractions (неопр.) // London Mathematical Society. — 1985. — Т. 17. — С. 21.
• Wagon, S. Mathematica in Action (неопр.). — W.H. Freeman, 1991. — С. 271—277.

Ссылки

• Дэвид Эппштейн. Egyptian Fractions (неопр.). Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Egyptian fractions (неопр.). Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Mathematics in Egyptian Papyri (неопр.) (2000). Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Браун, Кевин. RMP 2/nth table (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 24 декабря 2006. Архивировано 16 октября 2006 года.