Пример Помпею

Пример Помпею — пример дифференцируемой функции, производная которой (производная Помпею) обращается в ноль на плотном множестве. В частности, производная Помпею разрывна в любой точке, где она не равна 0.

История

Вопрос о том, могут ли существовать такие функции, не являющиеся тождественно нулевыми, возник в контексте исследований функциональной дифференцируемости и интегрируемости в начале 1900-х годов. На этот вопрос утвердительно ответил Димитри Помпейу, построив явный пример.

Построение

Пусть [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{x} }[/math] обозначает вещественный кубический корень вещественного числа [math]\displaystyle{ x }[/math]. Выберем перечисление рациональных чисел в единичном интервале [math]\displaystyle{ q_1,q_2,\dots }[/math] и положительные числа [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\dots }[/math] такие, что

[math]\displaystyle{ a_1+a_2+\dots\lt \infty }[/math]

Рассмотрим функцию

[math]\displaystyle{ g(x): = a_0+\sum_{j=1}^\infty \,a_j \sqrt[3]{x-q_j}. }[/math]

Для любого x из [0, 1] каждый член ряда меньше или равна a_j по абсолютной величине, так что по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится к непрерывной строго возрастающей функции g(x). Более того, оказывается, что функция g дифференцируема, причем

[math]\displaystyle{ g'(x) := \frac{1}{3}\sum_{j=1}^\infty \frac{a_j}{\sqrt[3]{(x-q_j)^2}}\gt 0, }[/math]

в любой точке, где сумма конечна; кроме того, во всех остальных точках, в частности, в любом из q_j, g′(x) := +∞.

Поскольку образ g представляет собой замкнутый ограниченный интервал с левым концом

[math]\displaystyle{ g(0) = a_0-\sum_{j=1}^\infty \,a_j \sqrt[3]{q_j}, }[/math]

с точностью до выбора a₀ мы можем считать g(0) = 0 и с точностью до выбора мультипликативного множителя можем считать, что g отображает интервал [0, 1] на себя. Поскольку g строго возрастает, он инъективен и, следовательно, гомеоморфизм.

По теореме о дифференцировании обратной функции обратная к ней функция f := g⁻¹ имеет конечную производную в любой точке, которая обращается в нуль по крайней мере в точках {g(q_j)}_j∈ℕ. Они образуют плотное подмножество [0, 1] (на самом деле производная обнуляется на большем множестве, см. Свойства).

Свойства

Поскольку множество нулей производной любой всюду дифференцируемой функции является G-дельта-множеством, для любой функции Помпею это множество является плотным G-дельта-множеством. В частности, по теореме Бэра оно несчетно.
Линейная комбинация [math]\displaystyle{ a\cdot f+b\cdot g }[/math] функций Помпею имеет производную и обращается в нуль на множестве [math]\displaystyle{ \{\,x\in\R\mid f'(x)=g'(x)=0\,\} }[/math], которое является плотным G-дельта-множеством. Таким образом, функции Помпею образуют векторное пространство.
Предельная функция равномерно сходящейся последовательности производных Помпею является производной Помпею. Действительно, это производная по теореме о пределе под знаком производной. Более того, она обращается в нуль на пересечении нулевых множеств функций последовательности: поскольку это плотные G-дельта-множества, нулевое множество предельной функции также плотно.
- Как следствие, класс E всех ограниченных производных Помпею на интервале [a, b] является замкнутым линейным подпространством банахова пространства всех ограниченных функций относительно равномерного расстояния (следовательно, это банахово пространство).
- Вышеупомянутая конструкция Помпею положительна, что является редким свойством: теорема Вейля утверждает, что в общем случае производная Помпейу принимает как положительные, так и отрицательные значения в плотных множествах, в точном смысле, что такие функции составляют плотное G-дельта-множество банахова пространство E.

Литература

Pompeiu (1907). «Sur les fonctions dérivées» (French). Mathematische Annalen 63 (3): 326–332. doi:10.1007/BF01449201.
Andrew M. Bruckner, "Differentiation of real functions"; CRM Monograph series, Montreal (1994).