Аксиоматика Гильберта

Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.

Неопределяемые понятия

Неопределяемыми понятиями в системе аксиом Гильберта являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных отношения:

• Лежать между, применимо к точкам;
• Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;
• Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ≅.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое.

Аксиомы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

• аксиомы принадлежности:
  • планиметрические:
    1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
    2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
    3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
  • стереометрические:
    1. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
    2. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки.
    3. Если две различные точки A и B, принадлежащие прямой a, принадлежат некоторой плоскости α, то каждая точка, принадлежащая прямой a, принадлежит указанной плоскости.
    4. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.
    5. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
• аксиомы порядка:
  • линейные:
    1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причём В лежит также и между С и А.
    2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что B лежит между А и C, и по крайней мере одна точка D, такая что C лежит между A и D.
    3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, всегда одна и только одна точка лежит между двумя другими.
  • Планиметрическая:
    1. Аксиома Паша: Пусть A, B, C — три не лежащие на одной прямой точки и a — прямая в плоскости (ABC), не проходящая ни через одну из точек A, B, C; если при этом прямая a проходит через точку отрезка AB, то она непременно проходит через точку отрезка AC или точку отрезка BC.
• аксиомы конгруэнтности:
  • линейные:
    1. Если А и В — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.
    2. Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.
    3. Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ — два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’.
  • планиметрические:
    1. Если даны угол ∠ABC в плоскости а и луч B’C' в плоскости а', тогда в плоскости a' существует ровно один луч B’D по определённую сторону от B’C' (и соответственно второй луч B'E по другую сторону от B'C'), такой, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC (и соответственно ∠EB’C' ≅ ∠ABC). Следствие: Каждый угол конгруэнтен сам себе
    2. Если для двух треугольников ABC и A’B'C' имеют место конгруэнции: AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ABC ≅ ∠A’B'C', ∠ACB ≅ ∠A’C'B'.
• аксиома параллельности, для которой Гильберт выбрал не евклидовскую формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла:
  • планиметрические
    1. Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a.
• аксиомы непрерывности
  • линейные
    1. Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A₁,…,A_n на AB таких, что: A_jA_j+1 ≅ CD, [math]\displaystyle{ 0\leqslant j\lt n }[/math], A₀ совпадает с A, и B лежит между A и A_n.
    2. «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.

21-я аксиома

Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому:

«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка B лежала между точками A и C, а также между A и D; точка C — между A и D, а также между B и D».

Элиаким Гастингс Мур и Роберт Ли Мур в 1902 году независимо доказали, что эта аксиома избыточна.

Полнота и непротиворечивость

Как доказал Альфред Тарский (1951), аксиоматика Гильберта логически полна, то есть любое (формальное) высказывание о содержащихся в ней геометрических понятиях может быть доказано или опровергнуто. Она также непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

История

Аксиоматическая схема евклидовой геометрии была опубликована Давидом Гильбертом в 1899 году в праздничном томе «Festschrift», посвящённом открытию в Гёттингене памятника Карлу Фридриху Гауссу и его другу физику Вильгельму Веберу. Ныне «Основания геометрии» изданы на многих языках мира, одно из двух изданий на русском языке указано внизу в ссылках.

Другие системы аксиом

Создатели догильбертовских систем:

• Евклид
• Паш
• Шур
• Пеано (включает понятие «движение»)
• Веронезе
• М. Пиери (1899)

Родственные гильбертовой:

• В. Ф. Каган (1902)
• О. Веблен (1904)
• А. Колмогоров

Более современные аксиоматики:

• Аксиоматика Александрова
• аксиоматика Тарского
• аксиоматика Биргофа — содержит «аксиому линейки» и «аксиому транспортира». Её варианты используются в большинстве американских школьных учебников, к ней близка аксиоматика Погорелова.
• Аксиоматика Вейля — оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.

Ссылки

• Д. Гильберт. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с.
• Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 356-363. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.