Гильбертов кирпич

Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] (с топологией произведения).

Свойства

• По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
• Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства [math]\displaystyle{ \ell^2 }[/math]:

  [math]\displaystyle{ \left[0, 1\right] \times \left[0, \tfrac12 \right] \times \left[0, \tfrac13 \right] \times \dots, }[/math]

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] гильбертова пространства [math]\displaystyle{ \ell^2 }[/math], такие, что

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant x_n \leqslant \frac 1 {n} }[/math].

• Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
• Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.

См. также

• Единичный куб
• Тихоновский куб