Теорема Гильберта — Шмидта
Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.
Формулировка теоремы
Для любого вполне непрерывного симметричного оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math] существует ортонормированная система [math]\displaystyle{ \{x_i\} }[/math] собственных элементов, соответствующих собственным значениям [math]\displaystyle{ \{\lambda_n\} }[/math] оператора [math]\displaystyle{ A }[/math], такая, что для любого [math]\displaystyle{ x\in H }[/math] имеет место представление
- [math]\displaystyle{ x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatorname{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k, }[/math]
причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора [math]\displaystyle{ A }[/math]. Если их бесконечное число, то [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0 }[/math].
Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов
Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.
Для интегрального оператора [math]\displaystyle{ (Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy }[/math], теорема переформулируется так: если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] (т.е. [math]\displaystyle{ \exists g(x)\in L^2(G) }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ f(x)=(Kg)(x) }[/math]), то её ряд Фурье по собственным функциям ядра [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] сходится абсолютно и равномерно на [math]\displaystyle{ G }[/math] к этой функции:
- [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k} \varphi_k(x), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \varphi_k }[/math] и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям [math]\displaystyle{ \lambda_k }[/math].
Литература
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 263-266. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
