Гиперболоид
Гиперболо́ид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид, внешность) — незамкнутая центральная поверхность второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемая в декартовых координатах уравнением
- [math]\displaystyle{ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1 }[/math] (однополостный гиперболоид),
где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;
или
- [math]\displaystyle{ - {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2}=1 }[/math] (двуполостный гиперболоид),
где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось. [1]
В литературе (особенно старой) вместо терминов "однополостный гиперболоид" и "двухполостной гиперболоид" могут использоваться термины "однополый гиперболоид" и "двуполый гиперболоид". Имеется в виду, что однополый и двуполый гиперболоиды состоят из одной и двух поверхностей-пол соответственно (имеется в виду пола́ как деталь одежды).
Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двуполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: [math]\displaystyle{ |AP-BP| = const }[/math]. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.[2]
Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.
В науке и технике
Свойство двуполостного гиперболоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Кассегрена и в антеннах Кассегрена.
Галерея
-
Проект 350-метровой башни В. Г. Шухова, 1919
-
Оптическая схема телескопа Кассегрена. Малое зеркало имеет форму гиперболоида.
-
Однополостный гиперболоид
В искусстве
В архитектуре
Линейчатая конструкция, имеющая форму однополостного гиперболоида, является жёсткой: если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил.
Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.
Примерами гиперболоидных конструкций являются:
- Шуховская башня
- Шуховская башня на Оке
- Аджигольский маяк
- Гиперболоидные мачты броненосца «Император Павел I»
- Гиперболоидные мачты американского линкора «Аризона»
- Башня порта Кобе
- Телебашня Гуанчжоу
- Aspire Tower
- Сиднейская телебашня
- Проект «Вортекс»
- Проект «Хрустальный остров»
- Хан Шатыр
В литературе
- Гиперболоид инженера Гарина (хотя на самом деле авторский текст описывает параболоид)[3].
См. также
- Теорема о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида
- Параболоид — другой вид поверхности второго порядка
- Гиперболический параболоид
- Гиперболоидные конструкции
- Гиперболоидная зубчатая передача
Примечания
- ↑ Энциклопедия Математика, 2002, с. 156.
- ↑ Энциклопедия Математика, 2002, с. 157.
- ↑ Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии на базе пакета «Mathematica» . Дата обращения: 1 августа 2017. Архивировано 1 августа 2017 года.
Литература
- Энциклопедия МАТЕМАТИКА. — официальное. — Москва: Издательство «Дрофа», 2002. — 845 с. — ISBN 5-85270-278-1.
Ссылки
- Граве Д. А. Гиперболоид // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.