Гиперболоид

Однополостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью можно получить кривую любого эксцентриситета (e) от нуля до бесконечности

Гиперболо́ид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид, внешность) — незамкнутая центральная поверхность второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемая в декартовых координатах уравнением

[math]\displaystyle{ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1 }[/math]  (однополостный гиперболоид),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

или

[math]\displaystyle{ - {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2}=1 }[/math]  (двуполостный гиперболоид),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

В литературе (особенно старой) вместо терминов "однополостный гиперболоид" и "двухполостной гиперболоид" могут использоваться термины "однополый гиперболоид" и "двуполый гиперболоид". Имеется в виду, что однополый и двуполый гиперболоиды состоят из одной и двух поверхностей-пол соответственно (имеется в виду пола́ как деталь одежды).

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двуполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: [math]\displaystyle{ |AP-BP| = const }[/math]. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

В науке и технике

Свойство двуполостного гиперболоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Кассегрена и в антеннах Кассегрена.

Галерея

• 

  Проект 350-метровой башни В. Г. Шухова, 1919

• 

  Оптическая схема телескопа Кассегрена. Малое зеркало имеет форму гиперболоида.

• 

  Однополостный гиперболоид

В искусстве

В архитектуре

Основная статья: Гиперболоидные конструкции

Линейчатая конструкция, имеющая форму однополостного гиперболоида, является жёсткой: если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил.

Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.

Примерами гиперболоидных конструкций являются:

• Шуховская башня
• Шуховская башня на Оке
• Аджигольский маяк
• Гиперболоидные мачты броненосца «Император Павел I»
• Гиперболоидные мачты американского линкора «Аризона»
• Башня порта Кобе
• Телебашня Гуанчжоу
• Aspire Tower
• Сиднейская телебашня
• Проект «Вортекс»
• Проект «Хрустальный остров»
• Хан Шатыр

В литературе

• Гиперболоид инженера Гарина (хотя на самом деле авторский текст описывает параболоид).

См. также

• Теорема о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида
• Параболоид — другой вид поверхности второго порядка
• Гиперболический параболоид
• Гиперболоидные конструкции
• Гиперболоидная зубчатая передача

Литература

• Энциклопедия МАТЕМАТИКА. — официальное. — Москва: Издательство «Дрофа», 2002. — 845 с. — ISBN 5-85270-278-1.

Ссылки

• Граве Д. А. Гиперболоид // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.