Параллельные плоскости

Определение

Классическое

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем).

Аналитическое

Если плоскости [math]\displaystyle{ A_{1}x+B_{1}y+C_1z+D_1 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ A_{2}x+B_{2}y+C_2z+D_2 = 0 }[/math] параллельны, то нормальные векторы [math]\displaystyle{ N_1(A_1,B_1,C_1) }[/math] и [math]\displaystyle{ N_2(A_2,B_2,C_2) }[/math] коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

[math]\displaystyle{ \frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} }[/math]^[1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Свойства

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Признак

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Примеры

Плоскости [math]\displaystyle{ 2x-3y-4z+11 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ -4x+6y+8z+36=0 }[/math] параллельны, так как [math]\displaystyle{ \frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{8}{-4} }[/math].
Плоскости [math]\displaystyle{ 2x-3z-12 = 0 (A_1 = 2, B_1 = 0, C_1 = -3) }[/math] и [math]\displaystyle{ 4x+4y-6z+7=0 (A_2 = 4, B_2 = 4, C_2 = -6) }[/math] непараллельны, так как [math]\displaystyle{ B_1 = 0 }[/math], а [math]\displaystyle{ B_2 \ne 0 }[/math].

Замечание

Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если [math]\displaystyle{ \frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{D_2}{D_1}, }[/math]^[2] то плоскости совпадают. Так уравнения [math]\displaystyle{ 3x+7y+5z+4=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ 6x+14y+10z+8=0 }[/math] представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

↑ при [math]\displaystyle{ A_1,B_1,C_1 \neq 0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ A_1 = 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} }[/math]. Аналогично при [math]\displaystyle{ B_1 = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ C_1 = 0 }[/math].
↑ при [math]\displaystyle{ A_1,B_1,C_1,D_1 \neq 0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ A_1 = 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}=\frac{D_2}{D_1} }[/math]. Аналогично при [math]\displaystyle{ B_1 = 0, C_1 = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ D_1=0 }[/math].

[1] при [math]\displaystyle{ A_1,B_1,C_1 \neq 0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ A_1 = 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} }[/math]. Аналогично при [math]\displaystyle{ B_1 = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ C_1 = 0 }[/math].

[2] при [math]\displaystyle{ A_1,B_1,C_1,D_1 \neq 0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ A_1 = 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}=\frac{D_2}{D_1} }[/math]. Аналогично при [math]\displaystyle{ B_1 = 0, C_1 = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ D_1=0 }[/math].

[1]

[2]