Дробь (математика)
[math]\displaystyle{ 8~/~13 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{8}{13} }[/math] | числитель | |
числитель | знаменатель | знаменатель | |
Две записи одной дроби |
Дробь в арифметике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы[1].
В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.
- Обыкновенные дроби[math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] целое, [math]\displaystyle{ n }[/math] натуральное. В отличие от арифметического определения, такая дробь может иметь знак минус. вида
- Запись (не обязательно дробных) чисел в позиционных системах счисления. Наиболее известны десятичные дроби , удобные для людей, и двоичные дроби, которые используются для расчётов на компьютерах[2].
В математической записи дроби вида [math]\displaystyle{ m/n }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] число перед (над) чертой называется числителем, а число после черты (под чертой) — знаменателем. Первый выступает в роли делимого, второй — делителя.
В общей алгебре обыкновенные дроби образуют поле рациональных чисел.
Виды дробей
Обыкновенные дроби
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] или [math]\displaystyle{ m/n, }[/math] где [math]\displaystyle{ n \ne 0. }[/math] Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
- ½,
- 1/2 или [math]\displaystyle{ ^1\!/_2 }[/math] (наклонная черта называется «солидус»[3]),
- выключная формула: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math],
- строчная формула: [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math].
Правильные и неправильные дроби
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби [math]\displaystyle{ \frac{3}{5} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{7}{8} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] — правильные, в то время как [math]\displaystyle{ \frac{8}{3} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{9}{5} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{2}{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{1}{1} }[/math] — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
Смешанные дроби
Дробь, записанная в виде неотрицательного целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, [math]\displaystyle{ 2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7} }[/math].
Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\bigg/\frac{1}{3} }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{1/2}{1/3} }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{12\frac{3}{4}}{26} }[/math].
Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.
Десятичные дроби
Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак [math]\displaystyle{ + }[/math] вне арифметических выражений обычно опускается):
- [math]\displaystyle{ \pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2\dots }[/math]
Часть записи, которая стоит до запятой, в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Пример: десятичная дробь [math]\displaystyle{ 3{,}1415926 }[/math] в формате обыкновенной дроби равна [math]\displaystyle{ \frac{31415926}{10000000} }[/math].
Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …
Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10−7, означает 0,0000006023 (умножение на [math]\displaystyle{ 10^{-7} }[/math], или, что то же, деление на [math]\displaystyle{ 10^7, }[/math] перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).
Другой вид дроби представляет собой процент (лат. Pro Centum — «на сто»), представленный символом %, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.
Схожее понятие промилле или частей на тысячу (‰) подразумевает знаменатель 1000. Распространенным обозначением частей на миллион является ppm (от англ. parts per million). Например 75 ppm, означает долю 75/1000000.
Международное обозначение | Русское | Система СИ |
---|---|---|
ppm | млн−1; 1:106 | микро (мк) |
ppb | млрд−1; 1:109 | нано (н) |
ppt | трлн−1; 1:1012 | пико (п) |
ppquad | квадрлн−1; 1:1015 | фемто (ф) |
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).
Значение дроби и основное свойство дроби
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
- [math]\displaystyle{ \frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R} }[/math]
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:
- [math]\displaystyle{ \frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16} }[/math]
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:
- [math]\displaystyle{ \frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4} }[/math] — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель [math]\displaystyle{ 4 }[/math].
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме [math]\displaystyle{ \pm 1. }[/math]
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:
- [math]\displaystyle{ 0, \! 999...=1 }[/math] — две разные записи дроби соответствуют одному числу;
- [math]\displaystyle{ 2, \! 13999...=2,\!14 }[/math].
Действия с дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{c}{d} }[/math]. Порядок действий:
- Находим наименьшее общее кратное знаменателей: [math]\displaystyle{ M=[b,d] }[/math].
- Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на [math]\displaystyle{ M/b }[/math].
- Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на [math]\displaystyle{ M/d }[/math].
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны [math]\displaystyle{ M }[/math]). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве [math]\displaystyle{ M }[/math] любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{4}{5} }[/math]. [math]\displaystyle{ \mathrm{HOK}(4, 5) = 20 }[/math]. Приводим дроби к знаменателю [math]\displaystyle{ 20 }[/math].
- [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20} }[/math]
Следовательно, [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} \lt \frac{4}{5} }[/math]
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
- Пример 1: [math]\displaystyle{ \quad \frac{1}{2} }[/math] + [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{3}{6} }[/math] + [math]\displaystyle{ \frac{2}{6} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{5}{6} }[/math]
НОК знаменателей (здесь [math]\displaystyle{ 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ 3 }[/math]) равно [math]\displaystyle{ 6 }[/math].
Приводим дробь [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] к знаменателю [math]\displaystyle{ 6 }[/math], для этого числитель и знаменатель надо умножить на [math]\displaystyle{ 3 }[/math].
Получилось [math]\displaystyle{ \frac{3}{6} }[/math].
Приводим дробь [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math] к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Получилось [math]\displaystyle{ \frac{2}{6} }[/math].
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] — [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{2}{4} }[/math] — [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math]
НОК знаменателей (здесь [math]\displaystyle{ 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ 4 }[/math]) равно [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Приводим дробь [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] к знаменателю [math]\displaystyle{ 4 }[/math], для этого надо числитель и знаменатель умножить на [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Получаем [math]\displaystyle{ \frac{2}{4} }[/math].
- Пример 2: [math]\displaystyle{ \quad \frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{3\cdot 7}{5\cdot 7} + \frac{2\cdot 5}{7\cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{31}{35} }[/math]
Умножение и деление
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
- [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}. }[/math]
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
- [math]\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2 }[/math]
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
- [math]\displaystyle{ \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}. }[/math]
Определим обратную дробь для дроби [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] как дробь [math]\displaystyle{ \frac{b}{a} }[/math] (здесь [math]\displaystyle{ a,b\ne 0 }[/math]). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:
- [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ab} = 1 }[/math]
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:
- [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad b,c,d \ne 0. }[/math]
Например:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}. }[/math]
Возведение в степень и извлечение корня
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{b}\right) ^ n = \frac{a^n}{b^n}, b \neq 0. }[/math]
Пример:
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} }[/math]
Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:
- [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 . }[/math]
Пример:
- [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}= \frac{4}{5}. }[/math]
Преобразование между разными форматами записи
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857) }[/math] — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
- [math]\displaystyle{ 71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400} }[/math]
Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможно[4].
Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь [math]\displaystyle{ 1{,}3(142857) = 1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots }[/math] в обыкновенную дробь. [math]\displaystyle{ 1{,}3(142857) = 1{,}3 + 0{,}1 \cdot 0{,}(142857). }[/math] Обозначим [math]\displaystyle{ x=0{,}(142857) }[/math], тогда [math]\displaystyle{ 1000000\cdot x =142857 + x, }[/math] откуда: [math]\displaystyle{ 999999 x =142857, }[/math] или: [math]\displaystyle{ x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}. }[/math] В итоге получаем: [math]\displaystyle{ 1{,}3(142857) = 1{,}3 + 0{,}1 x = 1{,}3 + 0{,}1\cdot\frac{1}{7}. = \frac {13}{10} +\frac {1}{70} = \frac {92}{70} = 1\frac{11}{35}. }[/math]
История и этимология термина
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.
Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.)[5], Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.)[6], Московский математический папирус (ок. 1850 год до н. э.), Деревянная табличка из Ахмима[англ.] (ок. 1950 год до н. э.)[7].
В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[8]. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше[9].
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5} }[/math] записывались таким способом: [math]\displaystyle{ \begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}. }[/math] Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский)[10]. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).
В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как [math]\displaystyle{ \overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3} }[/math] или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века[10].
На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами[10]. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
Обобщения
- Кольцо частных
- Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов.
См. также
Примечания
- ↑ Математическая энциклопедия, 1982.
- ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 130. — 544 с.
- ↑ Справочник ПараТайп.
- ↑ Цыпкин, 1983.
- ↑ The Rhind Mathematical Papyrus.
- ↑ Clagett, 1999.
- ↑ Simpson, 1961.
- ↑ Martzloff, 1997.
- ↑ Berggren, 2007.
- ↑ Перейти обратно: 10,0 10,1 10,2 Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд, 1997.
Литература
На русском:
- Дробь арифметическая // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — Москва: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2. — С. 389—390.
- Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / под ред. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары: Чув. кн. изд-во, 1997. — С. 202—203, 230.
- Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1983. — С. 51. — 480 с.
На английском:
- Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
- Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer (англ.). — 1997. — ISBN 3-540-33782-2.
- William K. Simpson. An Additional Fragment from the "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. — 1961. — Январь (т. 20, № 1). — С. 25—30.
- Clagett, Marshall. Memoirs of the American Philosophical Society 232 // Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3. — С. 17—18, 25, 37—38, 255—257.
Ссылки
- The Rhind Mathematical Papyrus (англ.). British Museum. Дата обращения: 13 января 2019.
- Дробная черта (Fraction bar, Solidus) . Справочник ПараТайп.