Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии (или схожей с ней геометрии Римана).

Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — совпадающим по локальным свойствам сферической или геометрии Римана, отрицательная — геометрии Лобачевского.

Метрика для плоскости

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат:

Евклидова геометрия: [math]\displaystyle{ ds^2 = dx^2 + dy^2 }[/math] (теорема Пифагора).
Сферическая геометрия: [math]\displaystyle{ ds^2 = dx^2 + \cos^2\left(\frac{y}{R}\right) dy^2 }[/math]. Здесь R — радиус сферы.
Геометрия Лобачевского: [math]\displaystyle{ ds^2 = dx^2 + \operatorname{ch}^2\left(\frac{y}{R}\right) dy^2 }[/math]. Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

История понятия

См. также

Литература

Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990. — ISBN 978-5-9775-0419-5.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007. — ISBN 978-5-484-00871-1.
Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1988. Т. 29. — С. 5-146.
Берже М. Геометрия. В 2 т. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия.
История математики с древнейших времён до начала XIX столетия / под ред. А. П. Юшкевича. Т. I—III. — М.: Наука, 1972.
Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1956.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — М.: изд. НКТП СССР, 1936. — 355 с.
Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. — М.: Просвещение, 1976.
Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Факториал, 2000.
Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — Изд. 3-е. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-166-2.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.