Линейная функция

Линейная функция — функция вида

[math]\displaystyle{ y =kx+b }[/math] (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

В случаях [math]\displaystyle{ b=0 }[/math] линейные функции называются однородными (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math] — неоднородных линейных функций.

Свойства

[math]\displaystyle{ k }[/math] (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла [math]\displaystyle{ \alpha \in \left[0; \frac {\pi}{2}\right) \cup \left(\frac {\pi}{2}; \pi\right), }[/math] который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, и может быть найден по формуле [math]\displaystyle{ k = \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} }[/math].
При [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math], прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
При [math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math], прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
При [math]\displaystyle{ k=0 }[/math], прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями [math]\displaystyle{ y =k_1x+b_1, }[/math] и [math]\displaystyle{ y =k_2x+b_2, }[/math] определяется равенством: [math]\displaystyle{ \mathrm{tg}\,\alpha = \left | \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right |, }[/math] где [math]\displaystyle{ k_1 k_2 \neq -1, }[/math] то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при [math]\displaystyle{ k_1 = k_2, ~ \alpha = 0 }[/math] и прямые параллельны.

[math]\displaystyle{ b }[/math] является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
При [math]\displaystyle{ b=0 }[/math], прямая проходит через начало координат.

Линейная функция монотонна и невыпукла на всей области определения [math]\displaystyle{ (\mathbb R) }[/math], производная [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] и первообразная [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] функции [math]\displaystyle{ f(x) = kx + b }[/math] запишутся:

[math]\displaystyle{ f'(x) = k }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \frac{kx^2}{2} + bx + C }[/math]

Обратная функция к [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] : [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{1}{k}\,x- \frac{b}{k} }[/math]

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных [math]\displaystyle{ x=(x_1,x_2,\dots,x_n) }[/math] — функция вида

[math]\displaystyle{ f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots,a_n }[/math] — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное пространство переменных [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n }[/math] вещественных или комплексных. При [math]\displaystyle{ a_0=0 }[/math] линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n }[/math] и коэффициенты [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots,a_n }[/math] — вещественные числа, то графиком линейной функции в [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-мерном пространстве переменных [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n, y }[/math] является [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная гиперплоскость

[math]\displaystyle{ y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n }[/math]

в частности при [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] над некоторым полем [math]\displaystyle{ K }[/math] в это поле, то есть для такого отображения [math]\displaystyle{ f: X\to K }[/math], что для любых элементов [math]\displaystyle{ x,y\in X }[/math] и любых [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\in K }[/math] справедливо равенство

[math]\displaystyle{ f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y) }[/math]

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция [math]\displaystyle{ f(x_1, x_2, \dots, x_n) }[/math] называется линейной, если существуют такие [math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_n }[/math], где [math]\displaystyle{ a_i \in \{0, 1\}, \forall i=\overline{1,n} }[/math], что для любых [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_n }[/math] имеет место равенство:

[math]\displaystyle{ f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\dots\oplus a_n\cdot x_n }[/math].

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math].

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям [math]\displaystyle{ f=k x+b }[/math], где [math]\displaystyle{ b\neq 0 }[/math], то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае [math]\displaystyle{ f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2) }[/math] и [math]\displaystyle{ f(c x) \neq c f(x) }[/math]. Например, нелинейной зависимостью считают [math]\displaystyle{ \sigma (\tau) }[/math] для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Литература

Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.