Кусочно-линейная функция
Кусо́чно-лине́йная фу́нкция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.
Формальное определение и задание
Пусть заданы [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_n }[/math] — точки смены формул.
Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов [math]\displaystyle{ (-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty) }[/math] отдельной формулой. Записывают это в виде: [math]\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} k_0 x+b_0,\quad x\lt x_1\\ k_1 x+b_1,\quad x_1\lt x\lt x_2\\ \cdots\\ k_n x+b_n,\quad x_n\lt x \end{cases} }[/math]
Если к тому же выполнены условия согласования
- [math]\displaystyle{ k_ix_i+b_i=k_{i+1}x_i+b_{i+1}=f(x_i) }[/math] при [math]\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n-1 }[/math],
то кусочно-линейная функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.
Альтернативное задание
Можно доказать, что любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать некоторой формулой вида
- [math]\displaystyle{ f(x)=a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n| }[/math].
При этом все коэффициенты, кроме b, можно выразить через угловые коэффициенты наклона прямых на отдельных интервалах:
- [math]\displaystyle{ c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2} }[/math], при [math]\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n }[/math]
- [math]\displaystyle{ a=\frac{k_0+k_n}{2} }[/math]
Свойства
- Любую непрерывную функцию можно аппроксимировать сколь угодно близко кусочно-линейной функцией (в непрерывной метрике).
Пример кусочно-линейной функции
График функции на рисунке аналитически задан в виде:
- [math]\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -x - 3 & \text{если}\ x \leq -3 \\ x + 3 & \text{если}\ -3 \lt x \lt 0 \\ -2x + 3 & \text{если}\ 0 \leq x \lt 3 \\ 0,5x - 4 & \text{если}\ x \geq 3 \end{cases} }[/math]
Источники
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 272-274. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
- Кусочно-линейная функция // Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.