Трёхдиагональная матрица

Не следует путать с матрицей Якоби отображения.

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют ленточную матрицу следующего вида:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{pmatrix}, }[/math]

где во всех остальных местах, кроме главной диагонали и двух соседних с ней, стоят нули.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математической физики. Краевые условия [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_n }[/math], которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так, краевое условие первого рода [math]\displaystyle{ F \bigl|_{x=x_1}=f_1 }[/math] определит первую строку в виде [math]\displaystyle{ c_1=1 }[/math], [math]\displaystyle{ b_1=0 }[/math], а краевое условие второго рода [math]\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x} \Bigl|_{x=x_1}=f_1 }[/math] будет соответствовать значениям [math]\displaystyle{ c_1=-1 }[/math], [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math].

Определитель

Определитель трёхдиагональной матрицы задается следующей рекуррентной формулой. Положим

[math]\displaystyle{ f_n = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{vmatrix} }[/math]

для всех n > 1 и f₁ = a₁. Тогда

[math]\displaystyle{ f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}, }[/math]

где f₀ = 1 и f_-1 = 0.

Метод прогонки

Основная статья: Метод прогонки

Для решения систем линейных уравнений вида Ax = F, где A — трёхдиагональная матрица, обычно используется метод прогонки.

См. также

• Континуанта
• Список матриц