Однородная функция

Однородная функция степени [math]\displaystyle{ q }[/math] — числовая функция [math]\displaystyle{ f:\R^n\to\R }[/math] такая, что для любого [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in\R^n }[/math]из области определения функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и любого [math]\displaystyle{ \lambda \in\R }[/math] выполняется равенство:

[math]\displaystyle{ f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v}). \qquad\qquad (*) }[/math]

Параметр [math]\displaystyle{ q }[/math] называется порядком однородности. Подразумевается, что если [math]\displaystyle{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} }[/math]входит в область определения функции, то все точки вида [math]\displaystyle{ \lambda \mathbf{v} }[/math] тоже входят в область определения функции.

Различают также

положительно однородные функции, для которых равенство [math]\displaystyle{ (*) }[/math] выполняется только для положительных [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] [math]\displaystyle{ (\lambda \gt 0), }[/math]
абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
[math]\displaystyle{ f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v}), }[/math]
ограниченно однородные функции, для которых равенство [math]\displaystyle{ (*) }[/math] выполняется только для некоторых выделенных значений [math]\displaystyle{ \lambda, }[/math]
комплексные однородные функции [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C} }[/math] для которых равенство [math]\displaystyle{ (*) }[/math] справедливо при [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in\mathbb{C}^n }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda \in\R }[/math] или [math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{C} }[/math] (а также для комплексных показателей [math]\displaystyle{ q \in\mathbb{C} }[/math]).

Альтернативное определение однородной функции

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения [math]\displaystyle{ f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v}) }[/math] с заранее неопределённой функцией [math]\displaystyle{ g(\lambda) }[/math] и лишь потом доказывается, что [math]\displaystyle{ g(\lambda)=\lambda^q. }[/math] Для единственности решения [math]\displaystyle{ g(\lambda)=\lambda^q }[/math] нужно дополнительное условие, что функция [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] не равна тождественно нулю и что функция [math]\displaystyle{ g(\lambda) }[/math] принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то [math]\displaystyle{ g(\lambda) }[/math] должна быть непрерывной функцией при всех значениях [math]\displaystyle{ \lambda, }[/math] и тем самым для широкого класса функций [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] случай [math]\displaystyle{ g(\lambda)\equiv\lambda^q }[/math] — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению [math]\displaystyle{ f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v}) }[/math] при любом выборе функции [math]\displaystyle{ g(\lambda), }[/math] однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_0 }[/math] значение [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}_0)\ne0, }[/math] то:

[math]\displaystyle{ g(\lambda_1\lambda_2)f(\mathbf{v}_0)=f(\lambda_1\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)f(\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) f(\mathbf{v}_0) }[/math], откуда: [math]\displaystyle{ \forall\lambda_1,\lambda_2: g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2); }[/math]
[math]\displaystyle{ g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) \Leftrightarrow G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2), }[/math] где [math]\displaystyle{ \mu=\log\lambda, G(\mu)=\log g(\exp(\mu)). }[/math]

Функциональное уравнение Коши [math]\displaystyle{ G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2) }[/math] имеет решение в виде линейной функции: [math]\displaystyle{ G(t)=q \cdot t, }[/math] причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что [math]\displaystyle{ g(\lambda) }[/math] непрерывная или монотонная функция, то [math]\displaystyle{ g(\lambda)\equiv\lambda^q. }[/math]

Доказательство единственности решения функционального уравнения Коши

1. При рациональных [math]\displaystyle{ t=m/n }[/math] справедливо [math]\displaystyle{ G(t\mu)=t\cdot G(\mu), }[/math] так как:

а) [math]\displaystyle{ G(2\mu)=G(\mu+\mu)=G(\mu) + G(\mu)=2G(\mu), }[/math] то есть [math]\displaystyle{ G(2\mu)=2G(\mu); }[/math]

б) [math]\displaystyle{ 2G(\mu/2)=G(\mu/2) + G(\mu/2)=G(\mu/2 + \mu/2)=G(\mu), }[/math] то есть [math]\displaystyle{ G(\mu/2)=(1/2)G(\mu); }[/math]

и т. д.;

2. Поскольку иррациональные числа, которые можно сколь угодно тесно «зажать» между двумя рациональными, то для непрерывных или для монотонных функций соотношение [math]\displaystyle{ G(t\mu)=t\cdot G(\mu) }[/math] должно быть выполнено также и для иррациональных [math]\displaystyle{ t; }[/math]

3. Последний шаг: в соотношении [math]\displaystyle{ G(t\mu)=t\cdot G(\mu) }[/math] следует задать [math]\displaystyle{ \mu=1. }[/math]

Примечание: для более широких классов функций у рассматриваемого функционального уравнения могут иметься и другие, весьма экзотические решения (см. статью «Базис Гамеля»).

Доказательство непрерывности [math]\displaystyle{ g(\lambda), }[/math] если [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] непрерывна хотя бы в одной точке

Пусть функция [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] непрерывна в фиксированной точке [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_0, }[/math] причём [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}_0)\ne0. }[/math] Рассмотрим тождество

[math]\displaystyle{ f((1+\varepsilon)\lambda_0\mathbf{v}_0)=g((1+\varepsilon)\lambda_0)f(\mathbf{v}_0)=g(\lambda_0)f((1+\varepsilon)\mathbf{v}_0). }[/math]

При [math]\displaystyle{ \varepsilon\to0 }[/math] значение [math]\displaystyle{ f((1+\varepsilon)\mathbf{v}_0) }[/math] стремится к [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}_0) }[/math] в силу непрерывности функции [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_0. }[/math] Поскольку [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}_0)\ne0, }[/math] то это означает, что [math]\displaystyle{ g((1+\varepsilon)\lambda_0) }[/math] стремится к [math]\displaystyle{ g(\lambda_0), }[/math] то есть что функция [math]\displaystyle{ g(\lambda) }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ \lambda_0. }[/math] Поскольку [math]\displaystyle{ \lambda_0 }[/math] может быть выбрано любым, то [math]\displaystyle{ g(\lambda) }[/math] непрерывна во всех точках.

Следствие: Если однородная функция [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_0, }[/math] то [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}) }[/math] будет непрерывной также во всех точках вида [math]\displaystyle{ \lambda\mathbf{v}_0 }[/math] (в том числе и тогда, когда [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}_0)=0 }[/math]).

Свойства

Если [math]\displaystyle{ f_1,f_2,\dots }[/math] — однородные функции одного и того же порядка [math]\displaystyle{ q, }[/math] то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка [math]\displaystyle{ q. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ f_1,f_2,\dots }[/math] — однородные функции с порядками [math]\displaystyle{ q_1,q_2,\dots, }[/math] то их произведение будет однородной функцией с порядком [math]\displaystyle{ q=q_1+q_2+\dots. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — однородная функция порядка [math]\displaystyle{ q, }[/math] то её [math]\displaystyle{ m }[/math]-ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если [math]\displaystyle{ m }[/math] — целое число, или если значение [math]\displaystyle{ f }[/math] положительно), будет однородной функцией порядка [math]\displaystyle{ m q }[/math] на соответствующей области определения. В частности, если [math]\displaystyle{ f }[/math] — однородная функция порядка [math]\displaystyle{ q }[/math], то [math]\displaystyle{ 1/f }[/math] будет однородной функцией порядка [math]\displaystyle{ (-q) }[/math] и областью определения в точках, где [math]\displaystyle{ f }[/math] определена и не равна нулю.
Если [math]\displaystyle{ f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) }[/math] — однородная функция порядка [math]\displaystyle{ p, }[/math] а [math]\displaystyle{ h_k\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right) }[/math] — однородные функции порядка [math]\displaystyle{ q, }[/math] то суперпозиция функций [math]\displaystyle{ F\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right)=f\left(h_1,h_2,\dots,h_n\right) }[/math] будет однородной функцией порядка [math]\displaystyle{ pq. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) }[/math] — однородная функция [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных степени [math]\displaystyle{ p, }[/math] и гиперплоскость [math]\displaystyle{ x_1=x_2=\dots=x_j=0 }[/math] принадлежит её области определения, то функция [math]\displaystyle{ \left(n-j\right) }[/math] переменных [math]\displaystyle{ g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots,x_n\right)=f\left(0,\dots,0,x_{j+1},\dots,x_n\right) }[/math] будет однородной функцией степени [math]\displaystyle{ p. }[/math]
Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот.
Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
Если [math]\displaystyle{ h_k\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) }[/math] —— положительно однородные функции порядка [math]\displaystyle{ p, }[/math] где [math]\displaystyle{ p \ne 0, }[/math] а [math]\displaystyle{ f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)=g\left(h_1,h_2,\dots,h_m\right) }[/math] —— положительно однородная функция порядка [math]\displaystyle{ q, }[/math] то функция [math]\displaystyle{ g\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right) }[/math] будет положительно однородной функцией порядка [math]\displaystyle{ q/p }[/math] во всех точках [math]\displaystyle{ y }[/math], в которых система уравнений [math]\displaystyle{ y_1=h_1\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) }[/math], ..., [math]\displaystyle{ y_m=h_m\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) }[/math] имеет решение. Если при этом [math]\displaystyle{ p }[/math] —— нечётное целое число, то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция [math]\displaystyle{ g(y) }[/math], причём [math]\displaystyle{ g\left(f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right) }[/math] —— однородная или положительно однородная функция, где [math]\displaystyle{ f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) }[/math] —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то [math]\displaystyle{ g(y)=c y^m }[/math] —— степенная функция во всех точках [math]\displaystyle{ y }[/math], в которых уравнение [math]\displaystyle{ y=f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) }[/math] имеет решение. В частности, [math]\displaystyle{ f(x)=c x^q }[/math] —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка [math]\displaystyle{ q }[/math] . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция [math]\displaystyle{ g(y) }[/math] —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для [math]\displaystyle{ g(y) }[/math], см. статью «Базис Гамеля».)
Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] является многочленом от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных, то она будет однородной функцией степени [math]\displaystyle{ q }[/math] в том и только в том случае, когда [math]\displaystyle{ f }[/math] — однородный многочлен степени [math]\displaystyle{ q. }[/math] В частности, в этом случае порядок однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] с одинаковыми порядками однородности [math]\displaystyle{ k_j=i_1+i_2+\dots+i_n }[/math], подставить результат в равенство [math]\displaystyle{ (*) }[/math] и использовать тот факт, что степенные функции [math]\displaystyle{ \lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots }[/math] с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] с нецелочисленными индексами.
Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] с минимальным и максимальным порядками однородности [math]\displaystyle{ k=i_1+i_2+\dots+i_n }[/math]. Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] с нецелочисленными индексами.
Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции [math]\displaystyle{ f=\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)} }[/math] являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] с нецелочисленными индексами.
Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена: [math]\displaystyle{ f(\mathbf{0}) = 0. }[/math] (Получается при подстановке в равенство [math]\displaystyle{ (*) }[/math] значения [math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] либо, в случае отрицательной степени однородности, значения [math]\displaystyle{ \mathbf{v}=0. }[/math]) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием [math]\displaystyle{ \mathbf{v'} = \lambda \mathbf{v} }[/math] можно любую точку [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] через её значение в точке [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] с помощью соотношения [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda\to0} \lambda^q f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{0}). }[/math])
Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство [math]\displaystyle{ (*) }[/math] значения [math]\displaystyle{ \lambda \to 0. }[/math])
Если однородная функция [math]\displaystyle{ f }[/math] в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] с одинаковыми порядками однородности [math]\displaystyle{ k_j=i_1+i_2+\dots+i_n }[/math], подставить результат в равенство [math]\displaystyle{ (*) }[/math] и использовать, что степенные функции [math]\displaystyle{ \lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots }[/math] с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
Функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1) }[/math] , где [math]\displaystyle{ h(t_2,t_3,...,t_n) }[/math] — функция [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] переменных, является однородной функцией с порядком однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math] Функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), }[/math] где [math]\displaystyle{ h(t_2,t_3,...,t_n) }[/math] — функция [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math]
Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности: [math]\displaystyle{ \mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v}) }[/math] или, в эквивалентной записи, [math]\displaystyle{ \sum x_k f'_{x_k} = qf. }[/math] Получается при дифференцировании равенства [math]\displaystyle{ (*) }[/math] по [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] при [math]\displaystyle{ \lambda=1. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных [math]\displaystyle{ f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] — это однородные функции c порядком однородности [math]\displaystyle{ q-1 }[/math]. Для доказательства достаточно продифференцировать по [math]\displaystyle{ x_k }[/math] правую и левую части тождества [math]\displaystyle{ f(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^q f(x_1, x_2, \ldots, x_n) }[/math] и получить тождество [math]\displaystyle{ f'_{x_k}(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^{q-1} f'_{x_k}(x_1, x_2, \ldots, x_n). }[/math]
Если [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] — однородная функция c порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля [math]\displaystyle{ F(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}f(t,x_2,...,x_n)dt }[/math] — это однородные функции c порядком однородности [math]\displaystyle{ q+1. }[/math] Доказательство: [math]\displaystyle{ F(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)= }[/math][math]\displaystyle{ \int_0^{\lambda x_1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda \int_0^{x_1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt'= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda^{q+1} \int_0^{x_1}f(t',x_2,...,x_n)dt'= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda^{q+1} F(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] (здесь сделана замена переменной интегрирования [math]\displaystyle{ t=\lambda t' }[/math]).
Если [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] — однородная функция c порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], вычисляемая как [math]\displaystyle{ G(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dx_1^n}\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt }[/math] по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать [math]\displaystyle{ n\gt \alpha }[/math]) — это однородные функции c порядком однородности [math]\displaystyle{ q-\alpha. }[/math] Рассмотрим функцию [math]\displaystyle{ H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt }[/math] . Тогда [math]\displaystyle{ H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)= }[/math][math]\displaystyle{ \int_0^{\lambda x_1} (\lambda x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda \int_0^{x_1} (\lambda x_1-\lambda t')^{n-\alpha-1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt'= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda^{q+n-\alpha} \int_0^{x_1}(x_1-t')^{n-\alpha-1}f(t',x_2,...,x_n)dt'= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda^{q+n-\alpha} H(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] (здесь сделана замена переменной интегрирования [math]\displaystyle{ t=\lambda t' }[/math]). После [math]\displaystyle{ n }[/math]-кратного дифференцирования по переменной [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] однородная функция [math]\displaystyle{ H(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] порядка [math]\displaystyle{ q+n-\alpha }[/math] становится однородной функцией c порядком однородности [math]\displaystyle{ q-\alpha }[/math] .
Если [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] — однородная функция c порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] , то её [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как [math]\displaystyle{ H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n }[/math] (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности [math]\displaystyle{ q+\mu_1+\dots+\mu_n }[/math] . Доказательство: [math]\displaystyle{ H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)= }[/math][math]\displaystyle{ \int_0^{\lambda x_1}\dots\int_0^{\lambda x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda^n \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-\lambda^{k_1} t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-\lambda^{k_n} t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(\lambda t_1',...,\lambda t_n')\,dt_1'\dots dt_n'= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1',...,t_n')\,dt_1'\dots dt_n'= }[/math][math]\displaystyle{ \lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} H(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] , где сделана замена переменных интегрирования [math]\displaystyle{ t_k=\lambda t_k' }[/math] . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] может быть представлена в форме

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), }[/math]

где [math]\displaystyle{ h(t_2,t_3,...,t_n) }[/math] — некоторая функция [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] может быть представлена как

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), }[/math]

где [math]\displaystyle{ h(t_2,t_3,...,t_n) }[/math] — некоторая функция [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] переменных.

Доказательство.

Возьмём однородную функцию [math]\displaystyle{ g(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] нулевой степени. Тогда при выборе [math]\displaystyle{ \lambda=1/x_1 }[/math] получим частный вариант требуемого соотношения:

[math]\displaystyle{ g(x_1,x_2,...,x_n) = g(\lambda x_1, \lambda x_2,..., \lambda x_n) = g(1,x_2/x_1,...,x_n/x_1) = h(x_2/x_1,...,x_n/x_1). }[/math]

Для однородной функции [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] степени [math]\displaystyle{ q\ne 0, }[/math] функция [math]\displaystyle{ g(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1,x_2,...,x_n)/x_1^q }[/math] окажется однородной функцией нулевой степени. Поэтому [math]\displaystyle{ g(x_1,...,x_n)=h(x_2/x_1,...,x_n/x_1) }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x_1,...,x_n)=x_1^q\cdot h(x_2/x_1,...,x_n/x_1). }[/math]

Следствие. Любая однородная функция степени [math]\displaystyle{ q }[/math] (абсолютно-однородная функция степени [math]\displaystyle{ q }[/math]) может быть представлена в форме

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n)=\phi(x_1,x_2,...,x_n)\cdot h(\phi_1(x_1,x_2,...,x_n),\phi_2(x_1,x_2,...,x_n),...,\phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n)), }[/math]

где [math]\displaystyle{ h(t_1,t_2,...,t_{n-1}) }[/math] — некоторая подходящая функция [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] переменных, [math]\displaystyle{ \phi(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] — фиксированная однородная функция степени [math]\displaystyle{ q }[/math] (фиксированная абсолютно-однородная функция степени [math]\displaystyle{ q }[/math]), а [math]\displaystyle{ \phi_1(x_1,x_2,...,x_n), }[/math] [math]\displaystyle{ \phi_2(x_1,x_2,...,x_n)) }[/math], ..., [math]\displaystyle{ \phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n)) }[/math] — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций [math]\displaystyle{ \phi,\phi_1,\phi_2,...,\phi_{n-1} }[/math] это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] степени [math]\displaystyle{ q }[/math] от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных и функциями [math]\displaystyle{ h(t_1,t_2,...,t_{n-1}) }[/math] от [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] переменных.

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] была однородной функцией с порядком однородности [math]\displaystyle{ q, }[/math] необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

[math]\displaystyle{ \sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n). }[/math]

Доказательство.

Необходимость получается из дифференцирования равенства [math]\displaystyle{ (*) }[/math] при [math]\displaystyle{ \lambda=1. }[/math] Для доказательства достаточности возьмём функцию [math]\displaystyle{ \varphi(\lambda) = \lambda^{-q} f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) }[/math] при «замороженных» [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n. }[/math] Продифференцируем её по [math]\displaystyle{ \lambda: }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi'(\lambda) = -q \lambda^{-q-1}f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) + \lambda^{-q}\sum f'_{x_k}(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) x_k. }[/math]

В силу условия [math]\displaystyle{ \sum (\lambda x_k)\cdot f'_{x_k}(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) = q f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) }[/math] получаем [math]\displaystyle{ \varphi'(\lambda) = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi(\lambda) = c = const. }[/math] Константу [math]\displaystyle{ c }[/math] определяем из условия [math]\displaystyle{ \varphi(1) = f(x_1,x_2,...,x_n). }[/math] В результате [math]\displaystyle{ \lambda^q\varphi(\lambda) = f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) = \lambda^{q} f(x_1,x_2,...,x_n). }[/math]

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности [math]\displaystyle{ (*) }[/math] справедливо в некотором интервале значений [math]\displaystyle{ \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]\sub \left[0,\infty\right), }[/math] то оно справедливо для всех [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0. }[/math]

Доказательство.

Продифференцируем соотношение [math]\displaystyle{ (*) }[/math] по [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] в точке [math]\displaystyle{ \lambda=\lambda_0: }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum x_k f'_{x_k}(\lambda_0 x_1, \lambda_0 x_2, ..., \lambda_0 x_n) = q \lambda_0^{q-1} f(x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{q}{\lambda_0} f(\lambda_0 x_1, \lambda_0 x_2, ..., \lambda_0 x_n). }[/math]

Это значит, что в точке [math]\displaystyle{ y_k=\lambda_0 x_k }[/math] выполнено соотношение Эйлера, причём в силу произвольности точки [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, ..., x_n) }[/math] точка [math]\displaystyle{ (y_1, y_2, ..., y_n) }[/math] тоже произвольна. Повторив приведённое выше доказательство теоремы Эйлера об однородной функции, мы получим, что в точке [math]\displaystyle{ (y_1, y_2, ..., y_n) }[/math] выполнено соотношение однородности, причём для произвольного [math]\displaystyle{ \lambda \gt 0. }[/math] Точку [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, ..., x_n) }[/math] можно выбрать так, чтобы точка [math]\displaystyle{ (y_1, y_2, ..., y_n) }[/math] совпала с любой наперед заданной точкой пространства. Следовательно, в каждой точке пространства соотношение [math]\displaystyle{ (*) }[/math] выполняется при любом [math]\displaystyle{ \lambda \gt 0. }[/math]

Лямбда-однородные функции

Пусть задан вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n). }[/math] Функция [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] называется [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородной c порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] , если при любых [math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math] и любых [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\in {\R}^n }[/math] справедливо тождество

[math]\displaystyle{ f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^qf(x_1,x_2,...,x_n). }[/math]

При [math]\displaystyle{ \lambda_k=1 }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] вводят степень однородности [math]\displaystyle{ m }[/math], определяемую из соотношения

[math]\displaystyle{ f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^{m\frac{|\mathbf{\lambda}|}{n}}f(x_1,x_2,...,x_n), }[/math]

где [math]\displaystyle{ |\mathbf{\lambda}|=\sum|\lambda_k|. }[/math] Для обычных однородных функций порядок однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] и степень однородности [math]\displaystyle{ m }[/math] совпадают.

Если частные производные [math]\displaystyle{ f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] непрерывны в [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], то для [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородности в точке [math]\displaystyle{ t=1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum \lambda_x x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n). }[/math]

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] была [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородной функцией с вектором [math]\displaystyle{ (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) }[/math] и порядком однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math] Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию [math]\displaystyle{ \varphi(t) = t^{-q} f(t^{\lambda_1} x_1,t^{\lambda_2} x_2,...,t^{\lambda_n} x_n) }[/math] и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что [math]\displaystyle{ \varphi(t) \equiv \varphi(1). }[/math]

Если [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] — [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородная функция с вектором [math]\displaystyle{ \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) }[/math] и порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math], то она же является [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородной функцией с вектором [math]\displaystyle{ \mathbf{\lambda} = (\alpha\lambda_1,\alpha\lambda_2,...,\alpha\lambda_n) }[/math] и порядком однородности [math]\displaystyle{ \alpha q }[/math] (следует из подстановки в тождество для [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородности нового параметра [math]\displaystyle{ t'\to t^{\alpha} }[/math]). В силу этого при рассмотрении [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородных функций достаточно ограничиваться случаем [math]\displaystyle{ \sum|\lambda_k|=const. }[/math] В частности, нормировка [math]\displaystyle{ \sum|\lambda_k| }[/math] может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что [math]\displaystyle{ \lambda_k \neq 0. }[/math]

При замене переменных [math]\displaystyle{ x_k=y_k^{\lambda_k} }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородная функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) }[/math] с вектором [math]\displaystyle{ \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) }[/math] и порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] переходит в обычную однородную функцию [math]\displaystyle{ g(y_1,y_2,...,y_n) }[/math] с порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math]. Отсюда следует, что общее представление для [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородных функций с вектором [math]\displaystyle{ \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) }[/math] и порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^{q/\lambda_1}\cdot h(x_2^{1/\lambda_2}/x_1^{1/\lambda_1}, x_3^{1/\lambda_3}/x_1^{1/\lambda_1}, \ldots, x_n^{1/\lambda_n}/x_1^{1/\lambda_1}), }[/math]

где [math]\displaystyle{ h(t_2,t_3,...,t_n) }[/math] — некоторая функция [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math] переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php Архивная копия от 1 октября 2012 на Wayback Machine), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера

Дифференциальный оператор

[math]\displaystyle{ x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} }[/math]

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они (логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

[math]\displaystyle{ \lambda_1 x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} }[/math]

собственными функциями являются [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородные функции с вектором [math]\displaystyle{ (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) }[/math] и только они, причём собственным значением является порядок однородности [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-однородных функций с вектором [math]\displaystyle{ (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) }[/math], и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

[math]\displaystyle{ \lambda_1 x_1^{\mu_1}\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2^{\mu_2}\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n^{\mu_n}\frac{\partial f}{\partial x_n}, }[/math]

который сводится к оператору Эйлера [math]\displaystyle{ y_1\frac{\partial f}{\partial y_1} + y_2\frac{\partial f}{\partial y_2} + \ldots + y_n\frac{\partial f}{\partial y_n} }[/math] заменой [math]\displaystyle{ y_k=\exp\left(\frac{x^{1-\mu_k}}{\lambda_k\left(1-\mu_k\right)}\right) }[/math] при [math]\displaystyle{ \mu_k\ne1; }[/math] [math]\displaystyle{ y_k=x^{1/\lambda_k} }[/math] при [math]\displaystyle{ \mu_k=1. }[/math] Также к оператору Эйлера с помощью замены [math]\displaystyle{ y_k=\exp\left(\int_{a_k}^x\frac{dt}{h_k(t)}\right) }[/math] сводятся все дифференциальные операторы вида [math]\displaystyle{ h_1(x_1)\frac{\partial f}{\partial x_1} + h_2(x_2)\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + h_n(x_n)\frac{\partial f}{\partial x_n} . }[/math]

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions Архивная копия от 2 августа 2012 на Wayback Machine (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции

Функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \R^n\to\R }[/math] называется ограниченно однородной с показателем однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] относительно множества положительных вещественных чисел [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] (называемого множеством однородности), если для всех [math]\displaystyle{ \vec x\in \R^n }[/math] и для всех [math]\displaystyle{ \lambda \in \Lambda }[/math] справедливо тождество

[math]\displaystyle{ f(\lambda \vec x) = \lambda^q f(\vec x). }[/math]

Множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] всегда содержит в себе единицу. Множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок [math]\displaystyle{ \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right] }[/math] — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых [math]\displaystyle{ \Lambda \neq \{ 1 \} }[/math] и у которых множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] сугубо дискретно.

Пример 1. Функция [math]\displaystyle{ f(x)=x^q\sin(\log |x|) }[/math] является ограниченно однородной с показателем однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] относительно множества [math]\displaystyle{ \Lambda=\{e^{2\pi m}\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ m }[/math] — целые числа.

Пример 2. Функция [math]\displaystyle{ f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2)^{q/2}\cos(\log \sqrt{x^2-xy+y^2}) }[/math] является ограниченно однородной с показателем однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] относительно множества [math]\displaystyle{ \Lambda=\{e^{2\pi k}\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ k }[/math] — целые числа.

Теорема. Чтобы функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n), }[/math] определённая при [math]\displaystyle{ x_1\gt 0, }[/math] была ограниченно однородной с порядком однородности [math]\displaystyle{ q, }[/math] необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log x_1,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1), }[/math]

где [math]\displaystyle{ H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n) }[/math] — функция, периодическая по переменной [math]\displaystyle{ y }[/math] с по крайней мере одним периодом, не зависящим от [math]\displaystyle{ t_2,t_3,\ldots,t_n. }[/math] В таком случае множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] состоит из чисел [math]\displaystyle{ \{e^{Y_k}\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ Y_k }[/math] — периоды функции [math]\displaystyle{ H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n), }[/math] не зависящие от [math]\displaystyle{ t_2,t_3,\ldots,t_n. }[/math]

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

[math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n, }[/math] где [math]\displaystyle{ t_k = x_k/x_1, }[/math]

так что [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_1,t_2,...,t_n). }[/math] Если теперь рассмотреть функцию [math]\displaystyle{ h(x_1,t_2,...,t_n) = g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q, }[/math] то из условия однородности получаем для всех допустимых [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] равенство

[math]\displaystyle{ h(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,t_3,...,t_n), }[/math]

которое будет справедливым, когда [math]\displaystyle{ \lambda\in\Lambda. }[/math] Если только множество [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] не состоит из одной лишь единицы, то после замены [math]\displaystyle{ x_1 = \exp(y) }[/math] функция

[math]\displaystyle{ H(y,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,...,t_n) }[/math]

оказывается периодической по переменной [math]\displaystyle{ y }[/math] с ненулевым периодом [math]\displaystyle{ \log\lambda }[/math] для любого выбранного фиксированным образом [math]\displaystyle{ \lambda\in\Lambda, }[/math] поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

[math]\displaystyle{ H(\log x_1 + \log\lambda,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n). }[/math]

Очевидно, что выбранное фиксированное значение [math]\displaystyle{ \log\lambda }[/math] будет периодом функции [math]\displaystyle{ H(y,t_2,...,t_n) }[/math] сразу при всех [math]\displaystyle{ t_2,...,t_n. }[/math]

Следствия:

Если имеется наименьший положительный период [math]\displaystyle{ Y\gt 0, }[/math] не зависящий от [math]\displaystyle{ t_2,t_3,\ldots,t_n, }[/math] то множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ \{e^{mY}\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ m=0,\pm1,\pm2,\dots }[/math] — произвольные целые числа. (Если [math]\displaystyle{ Y }[/math] — наименьший положительный период функции [math]\displaystyle{ H(y,...), }[/math] то и все [math]\displaystyle{ Y_m=mY }[/math] — её периоды, поэтому числа [math]\displaystyle{ \{e^{mY}\} }[/math] будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности [math]\displaystyle{ \lambda_{*}=e^{Y_{*}}, }[/math] что [math]\displaystyle{ e^{mY} \lt e^{Y_{*}} \lt e^{(m+1)Y}, }[/math] то [math]\displaystyle{ Y_{*} - mY }[/math] окажется положительным периодом, не зависящим от [math]\displaystyle{ t_2,...,t_n, }[/math] который будет меньше, чем [math]\displaystyle{ Y. }[/math] )
Если функция [math]\displaystyle{ H(y,\ldots) }[/math] — это константа по переменной [math]\displaystyle{ y, }[/math] то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае [math]\displaystyle{ H(y,\ldots) }[/math] не зависит от переменной [math]\displaystyle{ y, }[/math] и функция
[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1) }[/math]
— это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] в этом случае — вся положительная полуось [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math] (по меньшей мере).
Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции [math]\displaystyle{ H(y,...) }[/math] не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений [math]\displaystyle{ t_2,t_3,\ldots,t_n }[/math] у периодической функции [math]\displaystyle{ H(y,...) }[/math] есть предел по переменной [math]\displaystyle{ y }[/math] хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной [math]\displaystyle{ y. }[/math]
Ограниченно однородные функции, определённые при [math]\displaystyle{ x\lt 0, }[/math] имеют вид
[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = (-x_1)^q \cdot H(\log (-x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1) }[/math]
с надлежащим образом выбранной функцией [math]\displaystyle{ H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n), }[/math] периодической по переменной [math]\displaystyle{ y. }[/math]
Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки [math]\displaystyle{ x=0, }[/math] имеют вид
[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n) = |x_1|^q \cdot H_{\pm}(\log |x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1), }[/math]
с надлежащим образом выбранной функцией [math]\displaystyle{ H_{\pm}(y,t_2,t_3,\ldots,t_n), }[/math] периодической по переменной [math]\displaystyle{ y }[/math] (где обозначение [math]\displaystyle{ H_{\pm}(\ldots) }[/math] подчёркивает, что для интервала значений [math]\displaystyle{ x_1\gt 0 }[/math] и для интервала значений [math]\displaystyle{ x_1\lt 0 }[/math] выбираются, вообще говоря, разные периодические функции [math]\displaystyle{ H(y) }[/math], каждая с областью определения [math]\displaystyle{ y\in(-\infty,+\infty) }[/math], но обязательно имеющие при этом один и тот же период).
Формула [math]\displaystyle{ f(x_1,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log |x_1|,x_2/x_1,\ldots,x_n/x_1), }[/math] является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию [math]\displaystyle{ H(y,t_2,\dots,t_n\ldots) }[/math] как [math]\displaystyle{ G\left(w\cdot y+\log W(t_2,\dots,t_n),t_2,\dots,t_n\right), }[/math] где период функции [math]\displaystyle{ G\left(t,t_2,\dots,t_n\right) }[/math] равен [math]\displaystyle{ 2\pi, }[/math] нормировочный множитель [math]\displaystyle{ w }[/math] не зависит от [math]\displaystyle{ t_2,\dots,t_n, }[/math] а функция [math]\displaystyle{ W(t_2,\dots,t_n) }[/math] выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
[math]\displaystyle{ f(x_1,...,x_n) = F(\log Q(x_1,\ldots,x_n), x_1,\ldots,x_n), }[/math]
где [math]\displaystyle{ F(y, x_1,x_2,\ldots,x_n) }[/math] — однородная функция с показателем однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] по переменным [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots,x_n }[/math] и периодическая с периодом [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] по переменной [math]\displaystyle{ y, }[/math] [math]\displaystyle{ Q(x_1,x_2,\ldots,x_n), }[/math] — фиксированная однородная функция с показателем однородности [math]\displaystyle{ w }[/math] по переменным [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots,x_n, }[/math] а множество однородности имеет вид [math]\displaystyle{ \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ m=0,\pm1,\pm2,\dots }[/math] — произвольные целые числа.
Разлагая периодическую функцию [math]\displaystyle{ F(y, x_1,\ldots,x_n) }[/math] из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
[math]\displaystyle{ A_0(x_1,\ldots,x_n)+\sum A_k(x_1,\ldots,x_n)\cos k \log Q(x_1,\ldots,x_n)+B_k(x_1,\ldots,x_n)\sin k \log Q(x_1,\ldots,x_n), }[/math]
где [math]\displaystyle{ A_k(x_1,\ldots,x_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ B_k(x_1,\ldots,x_n) }[/math] — произвольные однородные функции с показателем однородности [math]\displaystyle{ q, }[/math] [math]\displaystyle{ Q(x_1,\ldots,x_n) }[/math] — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности [math]\displaystyle{ w, }[/math] а множество однородности [math]\displaystyle{ \Lambda=\{e^{mY}\}, }[/math] записано как [math]\displaystyle{ \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ m }[/math] — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] и множеством однородности [math]\displaystyle{ \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}. }[/math] В частности, замена фиксированной функции [math]\displaystyle{ Q(x_1,\ldots,x_n) }[/math] на набор произвольных однородных функций [math]\displaystyle{ Q_k(x_1,\ldots,x_n) }[/math] не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function Архивная копия от 23 августа 2012 на Wayback Machine (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями

1. Пусть

[math]\displaystyle{ f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C\left(\lambda\right)f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) }[/math]

при некоторой функции [math]\displaystyle{ C\left(\lambda\right) }[/math] на интервале [math]\displaystyle{ \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]. }[/math] Какова должна быть функция [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)? }[/math]

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по [math]\displaystyle{ \lambda. }[/math] Получим

[math]\displaystyle{ x_1\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_1)}+x_2\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_2)}+\dots+x_n\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_n)} = \frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda} f (x_1,\dots,x_n). }[/math]

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по [math]\displaystyle{ x_k, }[/math] получим соотношения

[math]\displaystyle{ \lambda \frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_k)} = C\left(\lambda\right) \frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}. }[/math]

Отсюда

[math]\displaystyle{ \frac{1}{f(x_1,\dots,x_n)}\left(x_1\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1}+\dots+x_n\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_n}\right) = \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}. }[/math]

Правая часть зависит только от [math]\displaystyle{ \lambda, }[/math] левая часть зависит только от [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n }[/math] Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через [math]\displaystyle{ q. }[/math] Из условия [math]\displaystyle{ \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}=q }[/math] и условия [math]\displaystyle{ C\left(1\right)=1 }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ C\left(\lambda\right)=\lambda^q. }[/math] Следовательно, [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) }[/math] — однородная функция с параметром однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math] Вырожденные случаи [math]\displaystyle{ C\left(\lambda\right)\equiv 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\equiv 0 }[/math] рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие [math]\displaystyle{ C\left(1\right)=1, }[/math] вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию [math]\displaystyle{ C\left(\lambda\right) }[/math] за пределами интервала [math]\displaystyle{ \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]. }[/math] . Из равенства

[math]\displaystyle{ \frac{1}{f}\left(x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = q }[/math]

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) }[/math] — однородная функция с параметром однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math] Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала [math]\displaystyle{ \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right], }[/math] то оно справедливо при всех [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0. }[/math]

2. Пусть

[math]\displaystyle{ f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) }[/math]

при некоторых фиксированных значениях [math]\displaystyle{ C \neq 0, }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda \ne 1 }[/math] и произвольных [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_n. }[/math] Какова должна быть функция [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)? }[/math]

Решение. Если [math]\displaystyle{ x_1 = 0, }[/math] то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

[math]\displaystyle{ f\left(0, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(0, x_2, \dots, x_n\right), }[/math]

пока не сведётся к случаю [math]\displaystyle{ f\left(0, 0, \dots, 0\right)=C f\left(0, 0, \dots, 0\right) }[/math] с очевидным ответом [math]\displaystyle{ f\left(0, 0, \dots, 0\right)=0. }[/math] Поэтому далее можно рассматривать только случай [math]\displaystyle{ x_1 \neq 0. }[/math]

Сделаем замену переменных [math]\displaystyle{ x_1=y, }[/math] [math]\displaystyle{ x_2=t_2 \cdot y, }[/math] [math]\displaystyle{ x_3=t_3 \cdot y, }[/math] [math]\displaystyle{ x_n=t_n \cdot y. }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\dots,x_n)\to F(y,t_2,\dots,t_n) }[/math] и функциональное уравнение принимает вид

[math]\displaystyle{ F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(y, t_2, \dots, t_n\right). }[/math]

Следует отдельно рассматривать случаи [math]\displaystyle{ C\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ C\lt 0, }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda\lt 0, }[/math] [math]\displaystyle{ y\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ y\lt 0. }[/math] Пусть [math]\displaystyle{ C\gt 0, }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ y\gt 0. }[/math] Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены [math]\displaystyle{ \log y \to t , }[/math] [math]\displaystyle{ \log F(y,\dots) \to \Phi (t,\dots) }[/math] получаем условие

[math]\displaystyle{ \Phi\left(t+\log\lambda, \dots\right)=\log C + \Phi\left(t, \dots\right), }[/math]

откуда следует, что [math]\displaystyle{ \Phi\left(t, \dots\right) }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ \Omega\left(t, \dots\right) + \frac{\log C}{\log \lambda}t, }[/math] где [math]\displaystyle{ \Omega\left(t, \dots\right) }[/math] — функция, периодическая по переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] с периодом [math]\displaystyle{ \log \lambda. }[/math] Обратное очевидно: функция

[math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log x_1, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Omega\left(t, \dots\right) }[/math] — функция, периодическая по переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] с периодом [math]\displaystyle{ \log \lambda, }[/math] удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для [math]\displaystyle{ x_1\gt 0. }[/math]

Для полуоси [math]\displaystyle{ x_1\lt 0 }[/math] используется замена [math]\displaystyle{ \log (-y) \to t }[/math] и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если [math]\displaystyle{ x_1 \gt 0 }[/math] то [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{+}\left(\log (+x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (+x_1)}{\log \lambda}\right), }[/math]

б) если [math]\displaystyle{ x_1 \lt 0 }[/math] то [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{-}\left(\log (-x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (-x_1)}{\log \lambda}\right), }[/math]

или, в сокращённой форме

[math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right), }[/math]

где обозначение [math]\displaystyle{ \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \dots\right) }[/math] подчёркивает, что при [math]\displaystyle{ x_1\gt 0 }[/math] и при [math]\displaystyle{ x_1\lt 0 }[/math] это, вообще говоря, две разные периодические функции [math]\displaystyle{ \Omega_{+}\left(t,\dots\right) }[/math] и [math]\displaystyle{ \Omega_{-}\left(t,\dots\right) }[/math], каждая с областью определения [math]\displaystyle{ t\in(-\infty,+\infty) }[/math] и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом.

Случай [math]\displaystyle{ C\lt 0, }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math] упрощается тем, что из цепочки соотношений

[math]\displaystyle{ F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right) }[/math]

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) }[/math] может быть записана как

[math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) }[/math] — некоторая функция, периодическая по переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] с периодом [math]\displaystyle{ 2\log \lambda. }[/math] Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что [math]\displaystyle{ \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) }[/math] — не просто периодическая функция с периодом [math]\displaystyle{ 2\log \lambda, }[/math] но анти-периодическая с периодом [math]\displaystyle{ \log \lambda: }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega_{\pm}\left(t+\log\lambda, \dots\right)=-\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) }[/math]

(очевидным образом анти-периодичность с периодом [math]\displaystyle{ \log \lambda }[/math] влечёт за собой периодичность с периодом [math]\displaystyle{ 2\log \lambda }[/math]). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией [math]\displaystyle{ \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) }[/math] удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай [math]\displaystyle{ \lambda\lt 0 }[/math] имеет дополнительную особенность, что полуоси [math]\displaystyle{ y\lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ y\gt 0 }[/math] влияют друг на друга. Рассмотрим случай [math]\displaystyle{ y\gt 0. }[/math] Тогда из цепочки соотношений

[math]\displaystyle{ F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right) }[/math]

следует, что при [math]\displaystyle{ x_1\gt 0 }[/math] функция [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) }[/math] должна иметь вид

[math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Omega\left(t, \dots\right) }[/math] — функция, периодическая по переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] с периодом [math]\displaystyle{ 2\log |\lambda| }[/math] и областью определения [math]\displaystyle{ t\in(-\infty,+\infty). }[/math] Поскольку [math]\displaystyle{ \lambda\lt 0, }[/math] то каждой положительной точке [math]\displaystyle{ x_1\gt 0 }[/math] взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка [math]\displaystyle{ \lambda x_1 \lt 0 }[/math] со значением функции, равным [math]\displaystyle{ C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right). }[/math] . В результате с учётом периодичности функции [math]\displaystyle{ \Omega\left(t, \dots\right) }[/math] функция [math]\displaystyle{ f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) }[/math] вычисляется как

а) при [math]\displaystyle{ x_1\gt 0: }[/math] [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), }[/math]

б) при [math]\displaystyle{ x_1\lt 0: }[/math] [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\dots,x_n)=sign(C) \cdot \Omega\left(\log |x_1| + \log|\lambda|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right) \exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Omega\left(t, \dots\right) }[/math] — функция, периодическая по переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] с периодом [math]\displaystyle{ 2\log |\lambda|. }[/math] Как легко проверить, определённая подобным образом функция [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\dots,x_n) }[/math] для случая [math]\displaystyle{ \lambda\lt 0 }[/math] действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при [math]\displaystyle{ x_1\gt 0, }[/math] так и при [math]\displaystyle{ x_1\lt 0. }[/math]

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых [math]\displaystyle{ C_0, \lambda_0, }[/math] то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений [math]\displaystyle{ \left(C,\lambda\right). }[/math] Так, для случая [math]\displaystyle{ C_0\gt 0, \lambda_0\gt 0 }[/math] множеством таких пар будут [math]\displaystyle{ \lambda_k=\lambda_{0}^{k/m}, }[/math] [math]\displaystyle{ C_k=C_0^{k/m} }[/math] при любых ненулевых целочисленных значениях [math]\displaystyle{ k=\pm1,\pm2,\dots, }[/math] где целое число [math]\displaystyle{ m }[/math] выбрано так, чтобы величина [math]\displaystyle{ |\log\lambda_{0}|/m }[/math] была наименьшим положительным периодом для функции [math]\displaystyle{ \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right). }[/math] Введя обозначение [math]\displaystyle{ q=\log C_0/\log \lambda_0 }[/math] так что [math]\displaystyle{ C_0=\lambda_0^q, }[/math] получим условие [math]\displaystyle{ C_k\equiv\left(\lambda_k\right)^q, }[/math] соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена [math]\displaystyle{ \exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right)\to x_1^q }[/math] приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функции

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{S} }[/math] функций [math]\displaystyle{ \varphi(x)=\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n), }[/math] имеющих производные любого порядка и при [math]\displaystyle{ \left|x\right|\to\infty }[/math] убывающих быстрее любой степени [math]\displaystyle{ \frac{1}{\left|x\right|}. }[/math] При этом любой обычной функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

[math]\displaystyle{ T_f \left[\varphi\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx, }[/math]

определённый в пространстве [math]\displaystyle{ \varphi\in\mathbb{S} }[/math] и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как [math]\displaystyle{ \delta }[/math]-функция и её производные.

Для обычных интегрируемых функций [math]\displaystyle{ f(x_1,\dots,x_n), }[/math] являющихся однородными с показателем однородности [math]\displaystyle{ q, }[/math] справедливо легко проверяемое тождество

[math]\displaystyle{ T_f \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_f \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right]. \qquad\qquad\qquad (**) }[/math]

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве [math]\displaystyle{ \varphi\in\mathbb{S} }[/math] и удовлетворяющий тождеству (**).

Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция [math]\displaystyle{ T_k\left[\varphi\right] }[/math] порядка [math]\displaystyle{ k }[/math] с показателем однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] — это линейный непрерывный функционал, для всякого [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math] удовлетворяющий соотношению

[math]\displaystyle{ T_k \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_k \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right] + \lambda^{q+n}\log\lambda \cdot T_{k-1} \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ T_{k-1}\left[\varphi\right] }[/math] — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция [math]\displaystyle{ (k-1) }[/math] —го порядка с показателем однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math] Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка с показателем однородности [math]\displaystyle{ q }[/math] — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math]

Пример. Обобщённая функция [math]\displaystyle{ \delta(x_1,x_2,\dots,x_n) }[/math] — однородная обобщённая функция с показателем однородности [math]\displaystyle{ (-n) }[/math] поскольку [math]\displaystyle{ \delta[\varphi({x_{1}}/\lambda,{x_{2}}/\lambda,\dots,{x_{n}}/\lambda)]=\varphi(0,0,\dots,0)=\delta[\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)]. }[/math]

Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию [math]\displaystyle{ T^{+}_{q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx. }[/math] Этот функционал определён при [math]\displaystyle{ Re(q) \gt -1 }[/math] и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности [math]\displaystyle{ q. }[/math] Величину [math]\displaystyle{ T^{+}_{q} }[/math] при фиксированном выборе пробной функции [math]\displaystyle{ \varphi\left(x\right) }[/math] можно рассматривать как функцию комплексного переменного [math]\displaystyle{ q }[/math] и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}, }[/math]

аналитичны по переменной [math]\displaystyle{ q }[/math] и тождественно равны друг другу при [math]\displaystyle{ Re (q) \gt -1. }[/math] Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при [math]\displaystyle{ Re (q) \gt -n. }[/math] В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для [math]\displaystyle{ Re (q) \gt -n. }[/math] Как результат, равенство

[math]\displaystyle{ T^{+}_{q}[\varphi(x)] = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}, }[/math]

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала [math]\displaystyle{ T^{+}_{q} }[/math] вплоть до значений [math]\displaystyle{ Re (q) \gt -n. }[/math] Формулы для [math]\displaystyle{ Re (q) \gt -n }[/math] и для [math]\displaystyle{ Re (q) \gt -m }[/math] дают один и тот же результат при одинаковых значениях [math]\displaystyle{ q, }[/math] при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция [math]\displaystyle{ T^{+}_{q}, }[/math] определённая теперь для всех [math]\displaystyle{ q, }[/math] , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью [math]\displaystyle{ T^{+}_{q}\left[\varphi\right] }[/math] определятся регуляризированные значения интеграла [math]\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx, }[/math] имеющие смысл при любых комплексных [math]\displaystyle{ q. }[/math] Исключениями являются целочисленные значения [math]\displaystyle{ q=-1,-2,\dots,-n,\dots, }[/math] где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал [math]\displaystyle{ T^{+}_{q}\left[\varphi\right] }[/math] как функция переменной [math]\displaystyle{ q }[/math] в точке [math]\displaystyle{ q=-n }[/math] имеет простой полюс с вычетом [math]\displaystyle{ \varphi^{(n-1)}(0)/(n-1)!. }[/math]

По той же схеме может быть аналитически продолжена для [math]\displaystyle{ Re (q) \le -1 }[/math] присоединённая однородная функция [math]\displaystyle{ T^{+}_{p,q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx. }[/math] С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов [math]\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx, }[/math] имеющие смысл при [math]\displaystyle{ Re (q) \le -1. }[/math]

Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.

Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также