Дробное интегро-дифференцирование

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Сам по себе оператор служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Обычно оператор обозначается следующим образом: [math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q_t. }[/math]

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

[math]\displaystyle{ {}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ =\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}= }[/math]
	[math]\displaystyle{ =\frac{1}{\Gamma(n-q)}\frac{d^n}{dt^n}\int\limits_a^t (t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau, }[/math]

где [math]\displaystyle{ n = \lceil q \rceil }[/math].

[math]\displaystyle{ {}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ =\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}= }[/math]
	[math]\displaystyle{ =\lim_{N\to\infty}\left[\frac{t-a}{N}\right]^{-q}\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j{q\choose j}f\left(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]\right). }[/math]

Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как [math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math]:

[math]\displaystyle{ F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt. }[/math]

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}\left[\mathbb{D}f(t)\right]=\mathcal{F}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=i\omega\mathcal{F}[f(t)]. }[/math]

Поэтому,

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)\mathcal{F}[f(t)]\right\}, }[/math]

что сводится к

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)^q\mathcal{F}[f(t)]\right\}. }[/math]

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math], дифференцирование заменяется умножением

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=s\mathcal{L}[f(t)]. }[/math]

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно [math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q f(t) }[/math], получаем

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{s^q\mathcal{L}[f(t)]\right\}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q_t\,(f(t)+g(t))=\mathbb{D}^q_t\,f(t)+\mathbb{D}^q_t\,g(t); }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q_t\,(af(t))=a\,\mathbb{D}^q_t\,f(t). }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^0_t\,t=t. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q_t\;(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^\infty{q\choose j}\mathbb{D}^j_t\,f(t)\,\mathbb{D}^{q-j}_t g(t). }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^a_t\mathbb{D}^b_t\,f(t)=\mathbb{D}^{a+b}_t f(t). }[/math]

в общем случае не выполняется^[1].

[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q(t^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}t^{n-q}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q(\sin(t))=\sin\left(t+\frac{q\pi}{2}\right); }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{D}^q(e^{at})=a^qe^{at}. }[/math]

↑ см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.

Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 с.
Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — М.: Наука, 2005. — 199 с.
Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — ISBN 5-9221-0440-3.
Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5.

Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — М., Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.
Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. — New York: Gordon and Breach, 1993.
Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. — New York: Wiley, 1993.
Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. — Imperial College Press, 2010. — 368 p.
Podlubny I. Fractional Differential Equations. — San Diego: Academic Press, 1999.
Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus // Lect. Notes Math. — 1975. — Vol. 457. — P. 1—36.
Tarasov V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. — Springer, 2010. — 450 p.
Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. — Springer, Higher Education Press, 2012. — 385 p.