Конечное кольцо
Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество [math]\displaystyle{ R }[/math], на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения [math]\displaystyle{ R }[/math] образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.
Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей[1].
Примеры конечных колец
- Самым простым примером является тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей[2]. Все остальные конечные кольца называются нетривиальными.
- Классическим примером конечного кольца является [math]\displaystyle{ \Z_n }[/math] — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю [math]\displaystyle{ n }[/math]. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число [math]\displaystyle{ n }[/math] простое[3]. Если же число [math]\displaystyle{ n }[/math] составное, то в кольце [math]\displaystyle{ \Z_n }[/math] существуют делители нуля. Например множество [math]\displaystyle{ \{0;\ 2;\ 4;\ 6\} }[/math] с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля: [math]\displaystyle{ 2 \cdot 4 = 4 \cdot 6 = 0. }[/math] Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел. Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю [math]\displaystyle{ n }[/math], уже не коммутативно.
- Кольцо подмножеств конечного множества [math]\displaystyle{ X }[/math] — это кольцо, элементами которого являются подмножества в [math]\displaystyle{ X }[/math]. В качестве операции сложения выступает симметрическая разность, а в роли умножения выступает пересечение множеств:
- [math]\displaystyle{ A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ A \cdot B = A \cap B }[/math]
- Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё [math]\displaystyle{ X }[/math]. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть [math]\displaystyle{ A\cdot A = A }[/math]. Любой элемент является своим обратным по сложению: [math]\displaystyle{ A+A=0. }[/math] Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности, для построения теории вероятностей[2].
- Каждое конечное поле или конечное тело одновременно является конечным кольцом.
Некоторые свойства
В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. В самом деле, пусть [math]\displaystyle{ a }[/math] — ненулевой элемент кольца порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]; составим произведения [math]\displaystyle{ a }[/math] на все ненулевые элементы кольца: [math]\displaystyle{ aa_1 \dots aa_{n-1} }[/math]. Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны: [math]\displaystyle{ aa_i=aa_k, }[/math] или [math]\displaystyle{ a(a_i-a_k)=0. }[/math] В обоих случаях [math]\displaystyle{ a }[/math] — делитель нуля, ч. т. д.
Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения).
Кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов [math]\displaystyle{ R }[/math] равны нулю) называется простым, если в нём нет двусторонних идеалов, кроме тривиального подкольца и самого [math]\displaystyle{ R }[/math]. Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом.
Теоремы Веддербёрна
Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению)[4][5].
Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента [math]\displaystyle{ a }[/math] из кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] существует такое целое [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math], что [math]\displaystyle{ a^n=a }[/math], то кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] коммутативно[6]. Обнаружены и другие признаки коммутативности колец[7].
Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть [math]\displaystyle{ R }[/math] — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] изоморфно кольцу всех матриц порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] над некоторым телом. При этом [math]\displaystyle{ n }[/math] определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела [math]\displaystyle{ D }[/math] кольцо [math]\displaystyle{ \mathrm{Mat}(D, n) }[/math] является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полем[8].
Примечания
- ↑ последовательность A027623 в OEIS
- ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 Винберг, 2011, с. 18-19.
- ↑ Винберг, 2011, с. 28—34.
- ↑ Херстейн, 1972, с. 70—71.
- ↑ Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — С. 113. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
- ↑ Херстейн, 1972, с. 74.
- ↑ Pinter-Lucke J. Commutativity conditions for rings: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. — 2007. — Т. 25, вып. 2. — С. 165—174. — doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001.
- ↑ Ван дер Варден, 1975, с. 372.
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
- Бельский А., Садовский Л. Кольца // Квант. — 1974. — № 2.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — M.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
- Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
- Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 190 с.