Нормирование (алгебра)

Запрос «Абсолютное значение» перенаправляется сюда; о значении Абсолютная величина см. Абсолютная величина.

Не следует путать с нормой.

Норми́рование — отображение элементов поля [math]\displaystyle{ F }[/math] или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле [math]\displaystyle{ P }[/math] [math]\displaystyle{ x\mapsto \|x\| }[/math], обладающее следующими свойствами:

1) [math]\displaystyle{ \|x\| \geqslant 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \|x\| = 0 }[/math] только при [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]

2) [math]\displaystyle{ \|xy\| = \|x\| \cdot \|y\| }[/math]

3) [math]\displaystyle{ \|x+y\| \leqslant \|x\|+\|y\| }[/math]

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) [math]\displaystyle{ \|x+y\| \leqslant \max(\|x\|,\|y\|) }[/math], то нормирование называется неархимедовым.

Значение [math]\displaystyle{ \|x\| }[/math] называется нормой элемента [math]\displaystyle{ x }[/math]. Если упорядоченное поле [math]\displaystyle{ P }[/math] является полем вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы [math]\displaystyle{ \|\cdot\|_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \|\cdot\|_2 }[/math] называются эквивалентными, если [math]\displaystyle{ \|x\|_1 \lt 1 }[/math] равносильно [math]\displaystyle{ \|x\|_2 \lt 1 }[/math].

Примеры нормирований

• Нормирование, при котором [math]\displaystyle{ \|0\|=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \|x\|=1 }[/math] для остальных [math]\displaystyle{ x }[/math]. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и модуль в поле комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] являются нормированием.
• Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] — поле рациональных чисел, а [math]\displaystyle{ p }[/math] — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби [math]\displaystyle{ x=p^n\frac{a}{b} }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] не кратны [math]\displaystyle{ p }[/math]. Можно определить следующее нормирование [math]\displaystyle{ |x|_p=p^{-n} }[/math]. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского, любая нетривиальная норма на [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] эквивалентна либо абсолютной величине [math]\displaystyle{ |x| }[/math], либо р-адическому нормированию.

Свойства нормы

• [math]\displaystyle{ |1| = |-\!1| = 1 }[/math]
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство [math]\displaystyle{ \Bigl| |x|-|y| \Bigr| \leqslant |x-y| }[/math] (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число [math]\displaystyle{ A }[/math], такое, что для любой суммы единичных элементов поля [math]\displaystyle{ F }[/math]:

3b) [math]\displaystyle{ \| 1+1+...+1 \| \leqslant A }[/math]

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] из поля [math]\displaystyle{ F }[/math] имеем:

[math]\displaystyle{ |(x+y)^n|=|x^n+ \ldots +C_n^i\,x^{n-i}\,y^i+ \ldots +y^n| \leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^n }[/math]

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math], получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля [math]\displaystyle{ F }[/math] как норму разности [math]\displaystyle{ \|x-y\| }[/math], мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в [math]\displaystyle{ F }[/math].

Пополнение

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле [math]\displaystyle{ F }[/math] изоморфно вкладывается в полное нормированное поле [math]\displaystyle{ F^* }[/math], то есть существует изоморфизм [math]\displaystyle{ i:F \rightarrow F^* }[/math]. Норма в [math]\displaystyle{ F^* }[/math] продолжает норму в [math]\displaystyle{ F }[/math], то есть для каждого [math]\displaystyle{ x }[/math] из [math]\displaystyle{ F }[/math]: [math]\displaystyle{ \|i(x)\|_{F^*}=\|x\| }[/math], причём [math]\displaystyle{ F }[/math] плотно в [math]\displaystyle{ F^* }[/math] относительно этой нормы. Любое такое поле [math]\displaystyle{ F^* }[/math] определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на [math]\displaystyle{ F }[/math]; оно называется пополнением поля [math]\displaystyle{ F }[/math].

Пример. Пополнением поля рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] с p-адической метрикой является поле p-адических чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p }[/math].

Экспоненциальное нормирование

Пусть [math]\displaystyle{ v }[/math] — отображение из мультипликативной группы поля [math]\displaystyle{ K^* }[/math] в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) [math]\displaystyle{ v(xy)=v(x)+v(y) }[/math]

2) [math]\displaystyle{ v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y)) }[/math]

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: [math]\displaystyle{ v(0)=\infty }[/math]. Групповая операция на [math]\displaystyle{ \infty }[/math] определена следующим образом: [math]\displaystyle{ a+\infty=\infty+a=\infty }[/math] для любого [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ \infty }[/math] упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд и Ленг. Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения [math]\displaystyle{ v }[/math] называют группой нормирования, а множество тех элементов [math]\displaystyle{ x }[/math] поля [math]\displaystyle{ K }[/math], для которых [math]\displaystyle{ v(x)\geqslant 0 }[/math] — кольцом нормирования (обозначение — [math]\displaystyle{ R_v }[/math]), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.