Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция [math]\displaystyle{ U }[/math], определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ D }[/math] (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

[math]\displaystyle{ \Delta U = 0,\ }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} }[/math] — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x_i (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области [math]\displaystyle{ D }[/math], достигает своего максимума и минимума только на границе [math]\displaystyle{ \partial D }[/math]. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в [math]\displaystyle{ D }[/math] функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать [math]\displaystyle{ \forall m \in D \inf_{Q \in D}U(Q) \lt U(m) \lt \sup_{Q \in D}U(Q) }[/math]

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция [math]\displaystyle{ u }[/math] гармонична в некотором шаре [math]\displaystyle{ B(x_0) }[/math] с центром в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], то её значение в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

[math]\displaystyle{ u(x_0) = \frac{1}{\mu(\partial B)} \int\limits_{\partial B} u dS = \frac{1}{\mu (B)} \int\limits_{B} u dV }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mu (B) }[/math] — объём шара [math]\displaystyle{ B(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu(\partial B) }[/math] — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция [math]\displaystyle{ U(M)=U(x_1,...x_k) }[/math], гармоническая в к-мерном шаре [math]\displaystyle{ Q_r }[/math] радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math] с центром в некоторой точке [math]\displaystyle{ M_0 }[/math], неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках [math]\displaystyle{ M }[/math] внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: [math]\displaystyle{ {{R^{k-2}}{\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_0)}\le{U(M)}\le{R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)} }[/math], где [math]\displaystyle{ r=\rho(M_0, M)\lt R }[/math].

Теорема Гарнака

Пусть [math]\displaystyle{ v_n(z) }[/math] — положительные гармонические функции в некоторой области [math]\displaystyle{ D }[/math]. Если ряд [math]\displaystyle{ \sum_{1}^\infty v_{n}(z) }[/math] сходится хотя бы в одной точке области [math]\displaystyle{ D }[/math], то он равномерно сходится внутри [math]\displaystyle{ D }[/math].

Гармонические функции на комплексной плоскости

На комплексной плоскости гармонические функции [math]\displaystyle{ h:\mathbb{C} \to \mathbb{R} }[/math] тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области [math]\displaystyle{ D }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] если [math]\displaystyle{ f }[/math] это голоморфная функция на [math]\displaystyle{ D }[/math], то [math]\displaystyle{ h=\operatorname{Re}(f) }[/math] является гармонической функцией над [math]\displaystyle{ D }[/math].

Выполняется также и обратное утверждение. Если [math]\displaystyle{ h }[/math] является гармонической функцией над односвязной областью [math]\displaystyle{ D }[/math], то [math]\displaystyle{ h=\operatorname{Re}(f) }[/math] для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над [math]\displaystyle{ D }[/math] функции [math]\displaystyle{ f }[/math].

См. также

• Оператор Лапласа
• Задача Дирихле
• Голоморфная функция
• Субгармоническая функция
• Плюригармоническая функция

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 448 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 749 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.
• Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 480 с.
• Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 463 с.
• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — 388 с.
• Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.