Квадратура параболы

Сегмент параболы.

Квадратура параболы (греч. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) — монография по геометрии, написанная Архимедом в III веке до н.э. и адресованная его александрийскому знакомому Досифею.

Работа содержит 24 утверждения относительно парабол, собранных в два доказательства. Они показывают, что площадь сегмента параболы (область между параболой и прямой) равна 4/3 определённого вписанного треугольника.

Это одна из наиболее известных работ Архимеда. Учёный сумел разбить площадь на бесконечное число треугольников, площади которых образуют геометрическую прогрессию. Затем он вычислил сумму получившегося геометрического ряда и доказал, что она является площадью параболического сегмента.

Это доказательство является примером использования апапогии у математиков древней Греции, и решение Архимеда оставалось непревзойдённым вплоть до развития интегрирования в XVII веке, когда было заменено квадратурной формулой Кавальери.

Основная теорема

Чтобы найти площадь параболического сегмента, Архимед рассматривает определённый вписанный треугольник. Основанием этого треугольника является заданная хорда параболы, а третьей вершиной служит такая точка параболы, что касательная к параболе в этой точке параллельна хорде. Лемма 1 работы утверждает, что прямая из третьей вершины, параллельная оси, делит хорду на два равных отрезка. Основная теорема гласит, что площадь параболического сегмента равна 4/3 вписанного треугольника.

Структура текста

Первое доказательство Архимеда использует принцип рычага для нахождения параболического сегмента.

Конические сечения, такие как парабола, были хорошо известны уже во времена Архимеда благодаря работам Менехма за век до этого. Однако до прихода дифференцирования и интегрирования не было простых средств нахождения площади конических сечений. Архимед дал первое проверенное решение этой проблемы, сфокусировавшись на площади, ограниченной параболой и хордой.

Архимед дал два доказательства основной теоремы — одно доказательство использует абстрактную механику, а другое составлено на основе чистой геометрии. В первом доказательстве Архимед рассматривает рычаг на сегменты параболы и треугольника в состоянии равновесия под действием гравитации, действующей на плечи рычага на определённом расстоянии от точки опоры. Если центр тяжести треугольника известен, равновесие рычага даёт площадь параболы в терминах площади треугольника с тем же основанием и высотой. Архимед здесь отклоняется от процедуры, находящейся в трактате О равновесии плоскостей в том, что он имеет центры тяжести на уровне ниже баланса. Второе и более известное доказательство использует чисто геометрию, в частности, сумму геометрического ряда.

Из двадцати четырёх утверждений первые три приведены без доказательства и ссылаются на работу Евклида «Конические элементы» (утерянная работа Евклида по коническим сечениям). Утверждения 4 и 5 устанавливают элементарные свойства параболы. Утверждения 6-17 дают доказательство основной теоремы на основе механики. Утверждения 18-24 предоставляют геометрическое доказательство.

Геометрическое доказательство

Второе доказательство Архимеда разбивает параболический сегмент на произвольно большое число треугольников.

Разбиение параболического сегмента

Основная идея доказательства — разбиение параболического сегмента на бесконечное число треугольников, как показано на рисунке справа. Каждый из этих треугольников вписан в свой сегмент тем же способом, что и синий треугольник.

Площади треугольников

В утверждениях 18-21 Архимед доказывает, что площадь каждого зелёного треугольника равна одной восьмой площади синего треугольника. С современной точки зрения это следствие того, что ширина зелёного треугольника равна половине ширины синего, а высота в четыре раза меньше:

По тому же принципу, площадь каждого жёлтого треугольника равна одной восьмой зелёного, площадь каждого из красных треугольников равна одной восьмой площади жёлтого треугольника и так далее. Используя метод исчерпывания, получаем, что общая площадь параболического сегмента задаётся выражением:

[math]\displaystyle{ \text{Area}\;=\;T \,+\, 2\left(\frac{T}{8}\right) \,+\, 4\left(\frac{T}{8^2}\right) \,+\, 8 \left(\frac{T}{8^3}\right) \,+\, \cdots. }[/math]

Здесь T представляет площадь большого синего треугольника, второй член представляет общую площадь двух зелёных треугольников, третий член представляет суммарную площадь четырёх жёлтых треугольников, и так далее. Это выражение можно упростить до

[math]\displaystyle{ \text{Area}\;=\;\left(1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\right)T. }[/math]

Сумма ряда

Доказательство Архимеда, что [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{64}+\dots=\tfrac{1}{3} }[/math]

Чтобы завершить доказательство, Архимед показал, что

[math]\displaystyle{ 1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\;=\; \frac{4}{3}. }[/math]

Формула выше является геометрическим рядом — каждый последующий член которого вчетверо меньше предыдущего. В современной математике эта формула является частным случаем формулы суммирования геометрического ряда.

Архимед вычислил сумму геометрическим методом, проиллюстрированным на рисунке. Рисунок показывает единичный квадрат, который разбивается на бесконечное число меньших квадратов. Каждый последующий фиолетовый квадрат имеет площадь, вчетверо меньше площади предыдущего квадрата, а полная сумма площадей фиолетовых квадратов равна сумме

[math]\displaystyle{ \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots \frac{1}{4^n}. }[/math]

Однако фиолетовые квадраты равны каждому из наборов жёлтых квадратов, а потому покрывают 1/3 площади единичного квадрата. Отсюда следует, что ряд приведённый выше сходится к 4/3 (поскольку 1+1/3 = 4/3).

См. также

• Анализ бесконечно малых

Литература для дальнейшего чтения

• Sunday Ajose, Roger Nelsen. Proof without Words: Geometric Series // Mathematics Magazine. — June 1994. — Т. 67, вып. 3. — С. 230. — doi:10.2307/2690617. — .
• Luciano Ancora. Quadrature of the parabola with the square pyramidal number // Archimede. — 2014. — Т. 66, вып. 3.
• David M. Bressoud. A Radical Approach to Real Analysis. — 2006. — ISBN 0-88385-747-2.
• Dijksterhuis E.J. Archimedes. — 1987. — ISBN 0-691-08421-1.
• C. H. Edwards Jr. The Historical Development of the Calculus. — 3rd. — 1994. — ISBN 0-387-94313-7.
• Thomas L. Heath. The Works of Archimedes. — 2nd. — 2011. — ISBN 978-1-4637-4473-1.
• George F. Simmons. Calculus Gems. — 2007. — ISBN 978-0-88385-561-4.
• Sherman K. Stein. Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. — 1999. — ISBN 0-88385-718-9.
• John Stillwell. Mathematics and its History. — 2004. — ISBN 0-387-95336-1.
• Gordon Swain, Thomas Dence. Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited // Mathematics Magazine. — 1998. — Апрель (т. 71, вып. 2). — С. 123–30. — doi:10.2307/2691014. — .
• Alistair Macintosh Wilson. The Infinite in the Finite. — 1995. — ISBN 0-19-853950-9.

Ссылки

• Casselman, Bill Archimedes' quadrature of the parabola (неопр.). Full text, as translated by T.L. Heath.
• Xavier University Department of Mathematics and Computer Science Archimedes of Syracuse (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 2 ноября 2021. Архивировано 7 марта 2007 года. Text of propositions 1-3 and 20-24, with commentary.
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus Архивная копия от 7 ноября 2020 на Wayback Machine