Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Римана — Сти́лтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Сти́лтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )(x_i - x_{i - 1}) } }[/math]

рассматривается предел сумм

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )(j(x_i) - j(x_{i - 1})) }, }[/math]

где интегрирующая функция [math]\displaystyle{ j(x) }[/math] есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией). Если [math]\displaystyle{ j(x) }[/math] непрерывно дифференцируема, то он выражается через обычный интеграл:

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\,dj(x) = \int\limits_a^b f(x)j'(x)\,dx }[/math] (если последний существует).

Применения

Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — Стилтьеса, всякая абсолютно монотонная при [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math] функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — Стилтьеса, всякая аналитическая функция в круге [math]\displaystyle{ |z| \lt 1 }[/math] с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — Стилтьеса.

Литература

• У. Рудин Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.