Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на её границе.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ D }[/math] — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей [math]\displaystyle{ \Gamma=\partial D }[/math], функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна в [math]\displaystyle{ \overline{D} }[/math], и [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] — точка внутри области [math]\displaystyle{ D }[/math]. Тогда справедлива следующая формула Коши:

[math]\displaystyle{ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_\Gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz. }[/math]

Формула справедлива также, если предполагать, что [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна внутри [math]\displaystyle{ D }[/math] и непрерывна на замыкании, а также если граница [math]\displaystyle{ D }[/math] не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство

Рассмотрим окружность [math]\displaystyle{ S_\rho }[/math] достаточно малого радиуса [math]\displaystyle{ \rho }[/math] с центром в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math].

В области, ограниченной контурами [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ S_\rho }[/math] (то есть состоящей из точек области [math]\displaystyle{ D }[/math] за исключением точек внутри [math]\displaystyle{ S_\rho }[/math]), подынтегральная функция не имеет особенностей, и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от [math]\displaystyle{ \rho }[/math] имеем равенство

[math]\displaystyle{ \int\limits_\Gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz = \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz. }[/math]

Для расчёта интегралов по [math]\displaystyle{ S_\rho }[/math] применим параметризацию [math]\displaystyle{ z = z_0 + \rho e^{i\varphi},\ \varphi \in [0;\;2\pi] }[/math].

Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая [math]\displaystyle{ f(z) = 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{1}{z - z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i\varphi}} i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 1. }[/math]

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz - f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz - \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z - z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\,dz. }[/math]

Так как функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] комплексно дифференцируема в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math], то

[math]\displaystyle{ \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = f'(z_0) + o(1). }[/math]

Интеграл от [math]\displaystyle{ f'(z_0) }[/math] равен нулю:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} f'(z_0)\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} f'(z_0) i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 0. }[/math]

Интеграл от члена [math]\displaystyle{ o(1) }[/math] может быть сделан сколь угодно малым при [math]\displaystyle{ \rho \to 0 }[/math]. Но поскольку он от [math]\displaystyle{ \rho }[/math] вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int\limits_\Gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz - f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\,dz = 0. }[/math]

Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] из области, где функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n }[/math],

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math], в котором функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна, а коэффициенты [math]\displaystyle{ c_n }[/math] могут быть вычислены по интегральным формулам:

[math]\displaystyle{ c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz }[/math].

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов [math]\displaystyle{ c_n }[/math] функций, голоморфных в круге [math]\displaystyle{ {|z-z_0|\lt r} }[/math]:

[math]\displaystyle{ c_n\leqslant r^{-n}M(r) }[/math],

где [math]\displaystyle{ M(r) }[/math] — максимум модуля функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] на окружности [math]\displaystyle{ {|z-z_0|=r} }[/math], а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

[math]\displaystyle{ c_n = {{f^{(n)}(z_0)}\over n!} }[/math]

получается интегральное представление производных функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]:

[math]\displaystyle{ f^{(n)}(z_0)={n!\over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}\,dz. }[/math]

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области [math]\displaystyle{ D }[/math], если это семейство равномерно ограничено в [math]\displaystyle{ D }[/math]. В сочетании с теоремой Арцела — Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области [math]\displaystyle{ D }[/math], можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в [math]\displaystyle{ D }[/math] к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна в области [math]\displaystyle{ D }[/math] вида [math]\displaystyle{ \{r\lt |z-z_0|\lt R\} }[/math], то в ней она представима суммой ряда Лорана:

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n, }[/math]

причём коэффициенты [math]\displaystyle{ c_n }[/math] могут быть вычислены по интегральным формулам:

[math]\displaystyle{ c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz, }[/math]

а сам ряд Лорана сходится в [math]\displaystyle{ D }[/math] к функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] равномерно на каждом компакте из [math]\displaystyle{ D }[/math].

Формула для коэффициента [math]\displaystyle{ c_{-1} }[/math] часто применяется для вычисления интегралов от функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна в круге [math]\displaystyle{ \{|z-z_0|\lt R\} }[/math], тогда для каждого [math]\displaystyle{ r\,(0\lt r\lt R) }[/math]

[math]\displaystyle{ f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi, }[/math]

а также если [math]\displaystyle{ B_r }[/math] — круг радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ z_0 }[/math], тогда

[math]\displaystyle{ f(z_0) = {1 \over \pi r^2}\int\limits_{B_r}f(z)\,dx\,dy. }[/math]

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна в области [math]\displaystyle{ D }[/math] и внутри [math]\displaystyle{ D }[/math] её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна в области [math]\displaystyle{ D }[/math] и внутри [math]\displaystyle{ D }[/math] её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна в круге [math]\displaystyle{ {|z|\lt 1} }[/math], [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] и для всех точек [math]\displaystyle{ z }[/math] из этого круга [math]\displaystyle{ |f(z)|\leqslant 1 }[/math], тогда всюду в этом круге [math]\displaystyle{ |f(z)|\leqslant |z| }[/math];
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math], совпадают в некоторой окрестности этой точки;
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], голоморфной в области [math]\displaystyle{ D }[/math] имеют предельную точку внутри [math]\displaystyle{ D }[/math], тогда функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] равна нулю всюду в [math]\displaystyle{ D }[/math].

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.