Интегральная теорема Коши
Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.
Теорема
Пусть [math]\displaystyle{ D \subset \mathbb{C} }[/math] — область, а функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] голоморфна в [math]\displaystyle{ D }[/math] и непрерывна в замыкании [math]\displaystyle{ \overline{D} }[/math]. Тогда для некоторой односвязной области [math]\displaystyle{ A\subset\mathbb C, }[/math] и для любой замкнутой жордановой кривой [math]\displaystyle{ \Gamma\subset A }[/math] справедливо соотношение [math]\displaystyle{ \oint\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0 }[/math]
Доказательство
Приведем доказательство, когда область [math]\displaystyle{ D }[/math] односвязна, а производная [math]\displaystyle{ f }[/math] непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма [math]\displaystyle{ f(z)\,dz }[/math] замкнута. Пусть теперь [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], ограничивающий область [math]\displaystyle{ D }[/math]. Тогда по теореме Стокса имеем:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = \int\limits_{\partial D} f(z)\,dz = \int\limits_D d[f(z)\,dz] = 0 }[/math]
Обобщение
Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы [math]\displaystyle{ f(z)dz }[/math]. Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.
Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу [math]\displaystyle{ a }[/math], то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка [math]\displaystyle{ p }[/math], в достаточно малой окрестности которой [math]\displaystyle{ f(z)=f(p)+f'(p)(z-p)+o(z-p) }[/math].
Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.
Прочее
Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.
См. также
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.