Лемма Шварца

Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.

Названа в честь Карлa Шварцa.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ \Delta=\{z:|z|\lt 1\} }[/math] — единичный круг на комплексной плоскости [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]. Далее, пусть функция [math]\displaystyle{ f }[/math] аналитична в [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] и удовлетворяет двум условиям:

1. [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math];
2. [math]\displaystyle{ f(\Delta)\subset\overline\Delta }[/math], или, что равносильно, [math]\displaystyle{ |f(z)|\leqslant 1 }[/math].

Тогда:

1. [math]\displaystyle{ |f(z)|\leqslant|z| }[/math] в [math]\displaystyle{ \Delta }[/math];
2. [math]\displaystyle{ |f'(0)|\leqslant 1 }[/math].

Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид [math]\displaystyle{ f(z)=e^{i\varphi}z }[/math] , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция [math]\displaystyle{ f(z)/z }[/math] будет аналитичной при [math]\displaystyle{ |z|\lt 1 }[/math] и применения к ней принципа максимума для гармонических функций.

Вариации и обобщения

• Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — С. 192. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.