Перейти к содержанию

Равностепенная непрерывность

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций, заключающееся в том, что всё семейство функций изменяется некоторым контролируемым образом. Применяется, чтобы выбрать равномерно сходящуюся последовательность из некоторого семейства функций: теорема Арцела — Асколи позволяет это сделать для равностепенно непрерывного и равномерно ограниченного семейства на, например, компактном метрическом пространстве.

Определение

Точное определение равностепенной непрерывности зависит от контекста. В простейшем варианте пусть [math]\displaystyle{ C(a, b) }[/math] — семейство вещественнозначных непрерывных функций на отрезке [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], а [math]\displaystyle{ D \subset C(a, b) }[/math] — некоторое его подсемейство. Это подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует такое [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math], что для любой функции [math]\displaystyle{ f\in D }[/math] и любых точек [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in [a, b] }[/math] из условия [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] следует условие [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \varepsilon }[/math]. Как видно, условие равностепенной непрерывности семейства функций отличается от условия равномерной непрерывности всех функции по отдельности перенесением фрагмента «для любой [math]\displaystyle{ f\in D }[/math]» под пару кванторов на эпсилон и дельту.

Это определение можно дословно обобщить на случай компактных метрических пространств [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] и подсемейства [math]\displaystyle{ D \subset C(X, Y) }[/math] семейства непрерывных отображений из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math]: подсемейство [math]\displaystyle{ D }[/math] называется равностепенно непрерывным, если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует такое [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math], что для любой функции [math]\displaystyle{ f \in D }[/math] и любых точек [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in X }[/math] из условия [math]\displaystyle{ d_X(x_1,\;x_2)\lt \delta }[/math] следует условие [math]\displaystyle{ d_Y(f(x_1),\;f(x_2))\lt \varepsilon }[/math].

Путём замены [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-[math]\displaystyle{ \delta }[/math]-формализма на формализм открытых подмножеств получается более общее определение для топологических пространств [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] и подсемейства [math]\displaystyle{ D \subset C(X, Y) }[/math] семейства непрерывных отображений из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math]: подсемейство [math]\displaystyle{ D }[/math] называется равностепенно непрерывным в точке [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] и точке [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math], если для любой окрестности [math]\displaystyle{ W \ni y }[/math] существует такая окрестность [math]\displaystyle{ V \ni x }[/math], что любая функция [math]\displaystyle{ f \in D }[/math] переводит [math]\displaystyle{ V }[/math] в [math]\displaystyle{ W }[/math]. Отображение называется равностепенно непрерывным, если условие выше выполнено для всех пар [math]\displaystyle{ (x, y) \in X \times Y }[/math]. Если [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — топологические векторные пространства, а отображения между ними не только непрерывны, но и линейны, то достаточно проверять это условие в паре точек [math]\displaystyle{ (0_X, 0_Y) }[/math].

Теорема Арцела — Асколи

Теорема Арцела — Асколи утверждает, что для компактных метрических пространств равностепенная непрерывность [math]\displaystyle{ D }[/math] равносильна относительной компактности [math]\displaystyle{ D }[/math] [math]\displaystyle{ \subset }[/math] [math]\displaystyle{ C(X,\;Y) }[/math], снабжённом метрикой

[math]\displaystyle{ \rho(f,\;g) = \max_{x\in X} d_Y(f(x),\;g(x)) }[/math].

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
  • Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.