Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] комплексных переменных [math]\displaystyle{ z = (z_1, \dots, z_n) }[/math] ограничена, то есть

[math]\displaystyle{ |f(z)| \leqslant M \lt \infty, }[/math]

то [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] есть константа.

Обобщения

• Если [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] ― целая функция в [math]\displaystyle{ \mathbb C^n }[/math], и для некоторого [math]\displaystyle{ r \in \R }[/math]

[math]\displaystyle{ |f(z)| \leqslant C(1 + |z|^r), }[/math]

то [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] есть многочлен по переменным [math]\displaystyle{ (z_1, \dots, z_n) }[/math] степени не выше [math]\displaystyle{ r }[/math].

• Если [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве [math]\displaystyle{ \R^n }[/math],

[math]\displaystyle{ u(x) \lt C(1 + |x|^r), }[/math]

то [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] есть гармонический многочлен по переменным.

История

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.

Доказательство (для случая [math]\displaystyle{ \mathbb C^1 }[/math])

Пусть [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] ограничена на комплексной плоскости, то есть

[math]\displaystyle{ \exist M \, \forall z \, |f(z)| \leqslant M. }[/math]

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]:

[math]\displaystyle{ f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C_R} \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^2} \,d\xi, }[/math]

где [math]\displaystyle{ C_R }[/math] — окружность радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math], содержащая точку [math]\displaystyle{ z }[/math], или [math]\displaystyle{ |\xi - z| = R }[/math].

Имеем

[math]\displaystyle{ |f'(z)| \leqslant \frac{1}{2\pi} \frac{M}{R^2} 2\pi R = \frac{M}{R}. }[/math]

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем [math]\displaystyle{ \lim_{R \to \infty} \frac{M}{R} = 0 }[/math], а значит [math]\displaystyle{ f'(z) = 0 }[/math] и, следовательно, [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] является константой. Теорема доказана.