Рациональная функция

Пример рациональной функции от одной переменной: [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4} }[/math]

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение^[⇨], то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Формальное определение

Рациональная функция^[1]^[2], или дробно-рациональная функция^[1]^[3], или рациональная дробь^[3] — это числовая функция вида

[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \to \mathbb{U} : w = R(u), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math] — комплексные ([math]\displaystyle{ \Z }[/math]) или вещественные ([math]\displaystyle{ \R }[/math]) числа, [math]\displaystyle{ R(u) }[/math] — рациональное выражение от [math]\displaystyle{ u }[/math]. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)^[4].

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов [math]\displaystyle{ P(u) }[/math] и [math]\displaystyle{ Q(u) }[/math]:

[math]\displaystyle{ R(u) = \frac{P(u)}{Q(u)} = \frac{a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + \cdots + a_n u^n}{b_0 + b_1 u + b_2 u^2 + \cdots + b_m u^m}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Q(u) \not\equiv 0. }[/math] Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов [math]\displaystyle{ P(u) }[/math] и [math]\displaystyle{ Q(u) }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_0, b_1, b_2, \dots, b_m }[/math]^[4].

Частные случаи

Целая рациональная функция — функция вида

[math]\displaystyle{ \R \to \R : y = \frac{P(x)}{1}, }[/math]

где переменная [math]\displaystyle{ x }[/math] действительна.

Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

[math]\displaystyle{ \C \to \C : w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}. }[/math]

Преобразование Кэли

[math]\displaystyle{ \C \to \C : w = W(z) = \frac{z - i}{z + i}. }[/math]

Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

[math]\displaystyle{ \C \to \C : w = \lambda(z) = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right), }[/math]

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским^[5].

Обобщения

Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

[math]\displaystyle{ \mathbb{U}^{\max(n, m)} \to \mathbb{U} : w = R(u_1, u_2, \dots, u_{\max(n, m)}) = \frac{P(u_1, u_2, \dots, u_n)}{Q(u_1, u_2, \dots, u_m)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Q(u_1, u_2, \dots, u_m) \not\equiv 0 }[/math]^[4].

Абстрактные рациональные функции

[math]\displaystyle{ R = \frac{A_1 F_1 + A_2 F_2 + \cdots + A_n F_n}{B_1 F_1 + B_2 F_2 + \cdots + B_m F_m}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ F_1, F_2, \dots, F_{\max(n, m)} }[/math] — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, }[/math] и [math]\displaystyle{ B_1, B_2, \dots, B_m }[/math] — числовые коэффициенты^[4].

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем^[3].

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике^[3].

Доказательство

Сначала докажем, что если произведение многочленов [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] делится на [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math], причём [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] взаимно просты, то [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] делится на [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math]^[6].

1. Известно, что многочлены [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ v(x) }[/math], что

[math]\displaystyle{ f(x)u(x) + \varphi(x)v(x) = 1. }[/math]

2. Умножим это равенство на [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ [f(x)g(x)]u(x) + g(x)[\varphi(x)v(x)] = g(x). }[/math]

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math], следовательно, [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] также делится на [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math].

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя^[3].

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}, }[/math]

то есть

[math]\displaystyle{ f(x)\psi(x) = g(x)\varphi(x). }[/math]

то:

из взаимной простоты [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] делится на [math]\displaystyle{ f(x) }[/math];
из взаимной простоты [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] делится на [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math].

В итоге получаем, что [math]\displaystyle{ f(x) = c\varphi(x). }[/math]

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

[math]\displaystyle{ c\varphi(x)\psi(x) = g(x)\varphi(x), }[/math]

или

[math]\displaystyle{ g(x) = c\psi(x). }[/math]

Итак, получили, что

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{c\varphi(x)}{c\psi(x)}. }[/math]

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби^[3].

Доказательство

Докажем последнее утверждение^[3].

1. Для любой рациональной дроби [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} }[/math], поделив числитель на знаменатель, получим:

[math]\displaystyle{ f(x) = g(x)q(x) + r(x), }[/math]

причём степень [math]\displaystyle{ r(x) }[/math] меньше степени [math]\displaystyle{ g(x). }[/math] Поделим обе части равенства на [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}. }[/math]

2. Докажем единственность этого представления.Если имеет место также следующее равенство:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} = q'(x) + \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}, }[/math]

где также степень [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] меньше степени [math]\displaystyle{ \psi(x)(x) }[/math], то произведём вычитание:

[math]\displaystyle{ q(x) - q'(x) = \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} - \frac{r(x)}{g(x)} = \frac{\varphi(x)g(x) - \psi(x)r(x)}{\psi(x)g(x)}. }[/math]

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] меньше степени [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math], а степень [math]\displaystyle{ r(x) }[/math] меньше степени [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда [math]\displaystyle{ q(x) - q'(x) = 0 }[/math] и

[math]\displaystyle{ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} - \frac{r(x)}{g(x)} = 0. }[/math]

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} }[/math] простейшая, если её знаменатель [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] представляет собой степень неприводимого многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ g(x) = p^k(x), k \geqslant 1, }[/math]

а степень числителя [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] меньше степени [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]. Имеют место быть две теоремы^[3].

Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

при интегрировании^[7];
при разложении в ряд Тейлора^[8];
при разложении в ряд Лорана^[9];
при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дроби^[10].

Пример

Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)}, }[/math] где^[3]:

[math]\displaystyle{ f(x) = 2x^4 - 10x^3 + 7x^2 + 4x + 3, }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x) = x^5 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 2. }[/math]

Решение. 1. Легко проверить, что

[math]\displaystyle{ g(x) = (x + 2)(x - 1)^2(x^2 + 1), }[/math]

причём [math]\displaystyle{ x + 2, }[/math] [math]\displaystyle{ x - 1, }[/math] [math]\displaystyle{ x^2 + 1 }[/math] неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 1} + \frac{Dx + E}{x^2 + 1}. }[/math]

Осталось найти числа [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B, }[/math] [math]\displaystyle{ C, }[/math] [math]\displaystyle{ D }[/math] и [math]\displaystyle{ E. }[/math]

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

[math]\displaystyle{ f(x) = 2x^4 - 10x^3 + 7x^2 + 4x + 3 = }[/math]

[math]\displaystyle{ = A(x - 1)^2(x^2 + 1) + }[/math]

[math]\displaystyle{ + B(x + 2)(x^2 + 1) + }[/math]

[math]\displaystyle{ + C(x + 2)(x - 1)(x^2 + 1) + }[/math]

[math]\displaystyle{ + Dx(x + 2)(x - 1)^2 + }[/math]

[math]\displaystyle{ + E(x + 2)(x - 1)^2. }[/math]

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B, }[/math] [math]\displaystyle{ C, }[/math] [math]\displaystyle{ D }[/math] и [math]\displaystyle{ E, }[/math] приравняв коэффициенты при одинаковых степенях [math]\displaystyle{ x }[/math] из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве [math]\displaystyle{ x = -2, }[/math] получаем [math]\displaystyle{ 45A = 135, }[/math] откуда [math]\displaystyle{ A = 3. }[/math] Полагая [math]\displaystyle{ x = 1, }[/math] получаем [math]\displaystyle{ 6B = 6, }[/math] то есть [math]\displaystyle{ B = 1. }[/math] Полагая независимо [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ x = -1, }[/math] получаем систему

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rcl} -2C + 2E = -2,\\ -4C - 4D + 4E = -8.\\ \end{array}\right. }[/math]

Отсюда [math]\displaystyle{ D = 1. }[/math] Положим [math]\displaystyle{ x = 2, }[/math] получаем [math]\displaystyle{ 20C + 4E = -52. }[/math] Возникает система

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rcl} -2C + 2E = -2,\\ 20C + 4E = -52,\\ \end{array}\right. }[/math]

откуда [math]\displaystyle{ C = -2, }[/math] [math]\displaystyle{ E = -3. }[/math] Таким образом,

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{2}{x - 1} + \frac{x - 3}{x^2 + 1}. }[/math]

Свойства

Любое выражение, которое можно получить из переменных [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения [math]\displaystyle{ (x-a)^k }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math] — вещественный корень [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math]) либо [math]\displaystyle{ (x^2+px+q)^k }[/math] (где [math]\displaystyle{ x^2+px+q }[/math] не имеет действительных корней), причём степени [math]\displaystyle{ k }[/math] не больше кратности соответствующих корней в многочлене [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math]. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским^[11].

См. также

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Математическая энциклопедия, т. 2, 1979, стб. 387.
↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 226.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 ^3,7 ^3,8 Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 161—165.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 Математическая энциклопедия, т. 4, 1984, стб. 917—918.
↑ Математическая энциклопедия, т. 2, 1979, стб. 426.
↑ Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 141—142.
↑ Зорич В. А. Математический анализ. Часть I, 2019, с. 292—295.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 50—51.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 62—63.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 125.
↑ M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.

Литература

Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).

[_c8bdbb4132c5e3c3-1] 1,0 ^1,1 Математическая энциклопедия, т. 2, 1979, стб. 387.

[_5f1c18a416dcbb96-2] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 226.

[_105b2053c15fce44-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 ^3,7 ^3,8 Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 161—165.

[_d5dbb48934035462-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 Математическая энциклопедия, т. 4, 1984, стб. 917—918.

[_26b0784e983be997-5] Математическая энциклопедия, т. 2, 1979, стб. 426.

[_fd8d03f40f04897d-6] Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 141—142.

[_21774462ae074146-7] Зорич В. А. Математический анализ. Часть I, 2019, с. 292—295.

[_f2cd3109e62f233a-8] Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 50—51.

[_634c37592985c0b0-9] Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 62—63.

[_1c0a485cb6921b53-10] Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 125.

[11] M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]