Бесконечная группа

Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам. Первое исследование бесконечных групп восходит к Жордану (1870).

Топологические группы

Основная статья: Топологическая группа

Бесконечные группы часто предполагаются топологическими — то есть снабжёнными топологией, согласованной с операциями умножения и взятия обратного элемента. В таком случае можно выделить два противоположных подкласса групп — дискретные группы и связные группы. Примером дискретной бесконечной группы является бесконечная циклическая группа [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] с естественной, то есть дискретной, топологией. Примером связной бесконечной группы является [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathbb C^n }[/math]) — конечномерное векторное пространство на вещественными (или комплексными) числами.

При этом «дискретная часть» топологической группы — то есть группа её компонент связности — является дискретной (не обязательно бесконечной) группой, в то время как её «непрерывная часть» — компонента связности единицы группы — является связной (и также не обязательно бесконечной) группой. Сама группа не полностью определяется «дискретной» и «непрерывной» компонентами, а именно не обязательно является их прямым произведением. Например, группа рациональных чисел вполне несвязна, а потому её «непрерывная часть» тривиальна, но группа не изоморфна своей «дискретной части» — счётна, но не дискретна. Аналогичным свойством обладает любая проконечная группа.

Группы Ли

Основная статья: Группа Ли

Часто используемый класс бесконечных топологических групп — это группы Ли размерности больше 0. Нестрого говоря, это группы, локально выглядящие как конечномерное вещественное (или комплексное) векторное пространство (размерности больше 0). Строгое определение использует понятие гладкого или алгебраического многообразия: на группе должна быть введена структура такого многообразия, так что операции умножения и взятия обратного элемента согласованы с этой структурой.

Примеры групп Ли (и гладких, и алгебраических одновременно) — это общая линейная группа [math]\displaystyle{ GL_n(\mathbb R) }[/math], то есть группа вещественных матриц [math]\displaystyle{ n }[/math] на [math]\displaystyle{ n }[/math] с ненулевым определителем, и её подгруппа специальная ортогональная группа [math]\displaystyle{ SO_n(\mathbb R) }[/math], состоящая из ортогональных матриц с определителем 1.

При этом «дискретная часть» группы Ли (группа её компонент связности), обязательно конечна, в то время как «непрерывная часть» (компонента связности единицы) группы Ли размерности больше 0, напротив, бесконечна. Тем не менее, группа Ли не обязательно является их полупрямым произведением.

С физической точки зрения

Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: [math]\displaystyle{ g(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) }[/math], где [math]\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, ..., x_n }[/math] — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если [math]\displaystyle{ g(x)g(y)=g(z) }[/math], то n параметров [math]\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, ..., z_n }[/math] являются функциями от параметров [math]\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, ..., x_n, y_1, y_2, y_3, ..., y_n, }[/math]. Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных [math]\displaystyle{ z=f(x,y) }[/math]. Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе:

1. Произведение [math]\displaystyle{ g(x)g(y) }[/math] любых двух элементов группы должно быть элементом группы.
2. Умножение элементов ассоциативно: [math]\displaystyle{ [g(x)g(y)]g(z)=g(x)[g(y)g(z)] }[/math].
3. Имеется единичный элемент группы g(1), так что для всех g(x) выполняется [math]\displaystyle{ g(1)g(x)=g(x)g(1)=g(x) }[/math]
4. Каждый элемент имеет единственный обратный, те для каждого g(x) имеется единственный элемент группы [math]\displaystyle{ g(x_{-1}) }[/math], такой что [math]\displaystyle{ g(x)g(x_{-1})=g(x_{-1})g(x)=g(1) }[/math].

Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство [math]\displaystyle{ f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z)) }[/math] выполняется для всех x, y, z.

Например, преобразования Лоренца образуют бесконечную группу. Элементы этой группы нумеруются вещественным параметром — скоростью инерциальной системы отсчёта. Произведение двух преобразований Лоренца с параметрами [math]\displaystyle{ u_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ u_2 }[/math] есть преобразование Лоренца с параметром [math]\displaystyle{ u=\frac{u_1+u_2}{1+\frac{u_1 u_2}{c^2}} }[/math] — релятивистский закон сложения скоростей.

Вращения твёрдого тела вокруг всевозможных осей, проходящих через некоторую фиксированную точку, образуют бесконечную группу вращений. Элементы этой группы [math]\displaystyle{ C_{k} \left ( \varphi \right ) }[/math] нумеруются набором вещественных чисел — углами Эйлера.

См. также

• Конечная группа
• Группа Ли
• Специальная унитарная группа
• Ортогональная матрица

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. — Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
• Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.

Ссылки

• А. В. Михалёв, А. П. Мишина, «Бесконечные абелевы группы: методы и результаты», Фундамент. и прикл. матем., 1:2 (1995), 319—375
• А. Ю. Ольшанский, А. Л. Шмелькин, «Бесконечные группы», Алгебра — 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 37, ВИНИТИ, М., 1989, 5—113
• М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, «Бесконечные группы», Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. Топол. Геом. 1966, ВИНИТИ, М., 1968, 57-90
• А. Л. Шмелькин, «Абстрактная теория бесконечных групп», Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. 1964, ВИНИТИ, М., 1966, 47—82