Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна[⇨].

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов[⇨]. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат[⇨], распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T2-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результата[⇨].

Теорема Вейерштрасса

Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — непрерывная функция, определённая на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. Тогда для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует такой многочлен [math]\displaystyle{ p }[/math] с вещественными коэффициентами, что для всех [math]\displaystyle{ x }[/math] из [math]\displaystyle{ [a,\;b] }[/math] одновременно выполнено условие [math]\displaystyle{ |f(x)-p(x)|\lt \varepsilon }[/math][1].

Если [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома [math]\displaystyle{ p }[/math] следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения: для вещественных всюду определённых непрерывных функций [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math], абсолютное значение которых не превосходит некоторой границы, притом [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] нигде не меняет своего знака и удовлетворяет равенству [math]\displaystyle{ \psi(-x)=\psi(x) }[/math] и для неё сходится интеграл:

[math]\displaystyle{ \int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx = \omega }[/math],

выполнено:

[math]\displaystyle{ f(x) = \lim\limits_{k \to 0} \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy }[/math].

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], но и что сходимость равномерная по [math]\displaystyle{ x }[/math], меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве [math]\displaystyle{ \psi(x)=e^{-x^2} }[/math], каждая функция из семейства:

[math]\displaystyle{ F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy }[/math]

вполне определена при всех комплексных [math]\displaystyle{ x }[/math] и является целой. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — периодическая функция с периодом [math]\displaystyle{ T }[/math], то функции [math]\displaystyle{ F_k(x) }[/math] являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

[math]\displaystyle{ F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\right) }[/math]

является однозначной и голоморфной функцией в области [math]\displaystyle{ z\not =0 }[/math] и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

[math]\displaystyle{ F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{T}inx \right)} }[/math],

поэтому [math]\displaystyle{ F_k(x) }[/math], а значит и [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] можно приблизить тригонометрическими многочленами.

Значение результата Вейерштрасса

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции [math]\displaystyle{ y }[/math] от [math]\displaystyle{ x }[/math] говорят, когда каждому значению переменной [math]\displaystyle{ x }[/math], [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение [math]\displaystyle{ y }[/math]; при этом не существенно, зависит ли [math]\displaystyle{ y }[/math] от [math]\displaystyle{ x }[/math] во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций»[3], подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция есть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Топологические следствия

Согласно теореме Вейерштрасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Обобщение Стоуна

В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца [math]\displaystyle{ C(K) }[/math] непрерывных на хаусдорфовом компакте [math]\displaystyle{ K }[/math] вещественнозначных функций можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть любая алгебра Стоуна [math]\displaystyle{ C_0 }[/math] является всюду плотной в пространстве непрерывных функций на компакте: [math]\displaystyle{ \overline{C_0}=C(K) }[/math]. В качестве нормы равномерной сходимости на [math]\displaystyle{ C(K) }[/math] берётся [math]\displaystyle{ \| f \| = \max\limits_{x \in K} |f(x)| }[/math], а алгебра Стоуна определяется как подалгебра [math]\displaystyle{ C_0 \subseteq C(K) }[/math], элементы которой разделяют точки [math]\displaystyle{ K }[/math].

Более точно, алгебра Стоуна [math]\displaystyle{ C_0 }[/math] — это множество функций из кольца [math]\displaystyle{ C(K) }[/math], удовлетворяющее следующим условиям:

  1. вместе с любыми её элементами [math]\displaystyle{ f, g \in C_0 }[/math] в алгебру Стоуна входят элементы: [math]\displaystyle{ cf }[/math] ([math]\displaystyle{ c \in \mathbb R }[/math]), [math]\displaystyle{ f + g }[/math], [math]\displaystyle{ fg }[/math];
  2. алгебра Стоуна содержит постоянную функцию [math]\displaystyle{ 1 }[/math];
  3. для каждой пары различных точек [math]\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in K }[/math] найдётся хотя бы одна функция [math]\displaystyle{ f \in C_0, }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ f(x_{1}) \neq f(x_{2}) }[/math].

Дальнейшие обобщения

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теореме Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

См. также

Примечания

  1. ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
  2. ↑ Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
  3. ↑ Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Вейерштрасса_—_Стоуна&oldid=5810495#Теорема_Вейерштрасса