Шершавое многообразие

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

Примеры

• E₈-многообразие
• Возьмём [math]\displaystyle{ 4k }[/math]-мерное многообразие Милнора [math]\displaystyle{ W^{4k} }[/math], [math]\displaystyle{ k\gt 1 }[/math]; [math]\displaystyle{ W^{4k} }[/math] параллелизуемо, его сигнатура равна [math]\displaystyle{ 8 }[/math], и его край [math]\displaystyle{ M=\partial W^{4k} }[/math] гомотопически эквивалентен сфере [math]\displaystyle{ S^{4k-1} }[/math]. Подклейка к [math]\displaystyle{ W^{4k} }[/math] конуса [math]\displaystyle{ C(M) }[/math] к [math]\displaystyle{ \partial W^{4k} }[/math] приводит к пространству [math]\displaystyle{ P^{4k} }[/math]. При этом, так как [math]\displaystyle{ M }[/math] есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то [math]\displaystyle{ C(M) }[/math] кусочно-линейный шар, так что [math]\displaystyle{ P^{4k} }[/math] — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны, [math]\displaystyle{ P^{4k} }[/math] есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) [math]\displaystyle{ 4k }[/math]-мерного многообразия кратна числу [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math], экспоненциально растущему с ростом [math]\displaystyle{ k }[/math].
  • В частности, из этого следует, что многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] не диффеоморфно сфере [math]\displaystyle{ S^{4k-1} }[/math].

Критерий сглаживаемости кусочно-линейного многообразия

Пусть [math]\displaystyle{ O_n }[/math] — ортогональная группа, a [math]\displaystyle{ PL_n }[/math] — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов [math]\displaystyle{ \R^n }[/math]. Включение [math]\displaystyle{ O_n\to PL_n }[/math] индуцирует расслоение [math]\displaystyle{ BO_n \to BPL_n }[/math], где [math]\displaystyle{ BG }[/math] — классифицирующее пространство группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. При [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] получается расслоение [math]\displaystyle{ p : BO_n \to BPL_n }[/math], слой которого обозначается через [math]\displaystyle{ M/O }[/math].
Кусочно-линейное многообразие [math]\displaystyle{ X }[/math] обладает линейным стабильным нормальным расслоением [math]\displaystyle{ \nu }[/math], классифицируемым отображением [math]\displaystyle{ \nu : X\to BPL_n }[/math].
Если же [math]\displaystyle{ X }[/math] является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением [math]\displaystyle{ \bar\nu }[/math], классифицируемым отображением [math]\displaystyle{ \bar\nu : X \to BO_n }[/math], причем [math]\displaystyle{ p\circ\bar\nu=\nu }[/math]. Это условие также и достаточно, то есть

• Замкнутое кусочно-линейное многообразие [math]\displaystyle{ X }[/math] сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение [math]\displaystyle{ \nu : X \to BPL_n }[/math] «поднимается» в [math]\displaystyle{ BO_n }[/math] (то есть существует такое [math]\displaystyle{ \bar\nu : X \to BO_n }[/math], что [math]\displaystyle{ p\circ\bar\nu=\nu }[/math]).

См. также

• Сфера Милнора

Литература

• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — М., 1979.
• Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;