Параллелизуемое многообразие

Параллелизуемое многообразие — многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n }[/math], допускающее поле реперов [math]\displaystyle{ e=(e_1,e_2,...,e_n) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ n }[/math] линейно независимых в каждой точке векторных полей [math]\displaystyle{ e_i }[/math].

Поле [math]\displaystyle{ e }[/math] задает изоморфизм касательного расслоения [math]\displaystyle{ TM\to M }[/math] на тривиальное расслоение [math]\displaystyle{ \R^n\times M\to M }[/math], сопоставляющий касательному вектору [math]\displaystyle{ v\in TM }[/math] его координаты относительно репера [math]\displaystyle{ e }[/math] и его начало. Поэтому параллелизуемое многообразие можно также определить как многообразие, имеющее тривиальное касательное расслоение.

Примеры

• открытые подмногообразия евклидова пространства,
• все трёхмерные ориентируемые многообразия,
• произвольные группы Ли,
• многообразие реперов произвольного многообразия.
• Сферы [math]\displaystyle{ S^n }[/math] являются параллелизуемыми только при [math]\displaystyle{ n=1, 3, 7 }[/math].

Свойства

• Для параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и достаточно обращение в нуль его второго характеристического класса Штифеля — Уитни.
• В общем случае равенство нулю всех характеристических классов Штифеля — Уитни, Чжэня и Понтрягина является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] было параллелизуемо.