Кардинальный синус

Кардина́льный си́нус, sinc (от лат. sinus cardinalis) — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
[math]\displaystyle{ \operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right. }[/math]
В математике ненормированная функция sinc определяется как
[math]\displaystyle{ \operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right. }[/math]

Нормировка функции выполняется из условия:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin a x}{a x}\,dx = 1 }[/math]

откуда [math]\displaystyle{ a = \pi. }[/math]

для ненормированной функции ([math]\displaystyle{ a = 1 }[/math]):

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx = \pi. }[/math]

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

[math]\displaystyle{ \operatorname{sinc}\left(0\right) = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{sinc}\left(k\right) = 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ k \ne 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{Z} }[/math] (целые числа); то есть это интерполянт.

функции [math]\displaystyle{ x_k\left(t\right)=\operatorname{sinc}\left(t-k\right) }[/math] формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве [math]\displaystyle{ L^2\left(\R\right) }[/math], с наибольшей круговой частотой [math]\displaystyle{ \omega_H = \pi }[/math].

Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc совпадают со значениями косинуса, то есть там, где производная [math]\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} }[/math] равна нулю (локальный экстремум в точке [math]\displaystyle{ x = a }[/math]), выполняется условие [math]\displaystyle{ \frac{\sin a}{a} = \cos a }[/math].

Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.

Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc(x).

Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции [math]\displaystyle{ \operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} }[/math] (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции [math]\displaystyle{ \operatorname{rect}\left(f\right) }[/math].

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi i f t}dt = \operatorname{rect}\left(f\right) }[/math],

где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

Разложение в бесконечное произведение:

[math]\displaystyle{ \operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2} \right) }[/math]

Выражение через гамма-функцию:

[math]\displaystyle{ \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\right)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma\left(x\right) }[/math] — гамма-функция.

Использование и приложения

Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д.
Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности.
Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.

Обработка сигналов

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также