Sinc-фильтр

Sinc-фильтр — в обработке сигналов идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя заданную низкочастотную полосу сигнала. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — функцию sinc. Реальные фильтры могут по своим характеристикам только приближаться к sinc-фильтру, так как идеальный sinc-фильтр физически нереализуем в силу бесконечного порядка передаточной функции и бесконечности ядра по времени в обе стороны (это накладывает ограничения на его реализацию как во временно́й области, так и в частотной).

Sinc-фильтры используются для математического описания обработки сигналов — в частности, при доказательстве теоремы Котельникова и формулы Уиттакера — Шеннона.

Характеристики

Временны́е

Пусть [math]\displaystyle{ f_0 }[/math] — частота среза (ограничивающая полосу пропускания) в герцах. Импульсная характеристика такого фильтра получается при помощи обратного преобразования Фурье от частотной характеристики:

[math]\displaystyle{ h(t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H \left( f \right) \right\} \left( t \right) = 2f_0\cdot \frac{ \sin \left( 2\pi f_0t\right)}{2\pi f_0t} = 2f_0\cdot \operatorname{sinc} \left( 2 f_0 t \right) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathrm{sinc} }[/math] — нормированная функция sinc.

Частотные

Частотная характеристика фильтра:

[math]\displaystyle{ H \left( f \right) = \operatorname{rect} \left( \frac{f}{2f_0} \right) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \operatorname{rect} }[/math] — прямоугольная функция.

Пусть [math]\displaystyle{ x \left( t \right) }[/math] — любая функция вещественного аргумента, для которой существует преобразование Фурье [math]\displaystyle{ \mathcal{F} \{x \} = X(\omega) }[/math]. Тогда sinc-фильтр, имеющий импульсную характеристику [math]\displaystyle{ h \left( t \right) }[/math], воздействует на сигнал таким образом, что на его выходе частоты выше частоты среза зануляются по амплитуде, а компоненты частотной характеристики ниже частоты среза остаются неизменными:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F} \left\{ h*x \right\} = \left \{ \begin{matrix} X \left( \omega \right) & \left| \omega \right| \leq 2\pi f_0 \\ 0 & \left| \omega \right| \gt 2\pi f_0 \end{matrix} \right. }[/math],

где [math]\displaystyle{ * }[/math] — оператор свёртки.

См. также

Литература

Mark Owen. Practical Signal Processing. — Cambridge University Press, 2007. — P. 80-81. — 336 p. — ISBN 978-0-521-85478-8.