Прямоугольная функция

Прямоуго́льная фу́нкция, едини́чный и́мпульс, прямоуго́льный импульс, или нормированное прямоугольное окно́ — кусочно-постоянная функция следующего вида:

[math]\displaystyle{ \mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0, & |t| \gt \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2}, & |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1, & |t| \lt \frac{1}{2} \end{cases} }[/math]

В этом определении в точках разрыва значение функции определено равным 1/2, но возможно определение этих значений иным способом, например, равным 0 и другими вариантами.

Другое определение функции через функцию Хевисайда [math]\displaystyle{ \theta(t) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = \theta \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - \theta \left( t - \frac{\tau}{2} \right), }[/math]

или, иначе:

[math]\displaystyle{ \mathrm{rect}(t) = \theta \left( t + \frac{1}{2} \right) - \theta \left( t - \frac{1}{2} \right). }[/math]

Значение функции в точках разрыва зависит от определения значения функции Хевисайда в её точке разрыва.

Интеграл прямоугольной функции по всей прямой:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1. }[/math]

Спектр прямоугольной функции

Спектральный образ прямоугольной функции:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}2\right), }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}2\right) = \frac{\mathrm{sin}\left(\omega / 2 \right)} {\left(\omega / 2 \right)} }[/math] — ненормированная sinc-функция.

При использовании нормированной sinc-функции:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt = \mathrm{sinc}(f). }[/math]

Свёртка прямоугольных функций

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

[math]\displaystyle{ \mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t) \;. }[/math]

На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции.

См. также