Формула Фейнмана — Каца

Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Фейнмана и математика Марка Каца.

В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый метод Монте-Карло). И наоборот, математическое ожидание случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.

Формулировка в одномерном случае

Рассмотрим дифференциальное уравнение

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - V(x,t) u + f(x,t) = 0 \qquad (*) }[/math]

с неизвестной функцией [math]\displaystyle{ u=u(x,t) }[/math], в котором [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ t \in [0,T] }[/math] — независимые переменные, [math]\displaystyle{ \mu, \sigma, V, f }[/math] — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием

[math]\displaystyle{ u(x,T)=\psi(x), }[/math]

может быть выражено как условное математическое ожидание

[math]\displaystyle{ u(x,t) = E^Q\left[ \int_t^T e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}f(X_s,s)ds + e^{-\int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) \ \bigg| \ X_t=x \right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ Q }[/math] — вероятностная мера, такая что случайный процесс [math]\displaystyle{ X_t }[/math] является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением

[math]\displaystyle{ dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \sigma(X_t,t)\,dW_t^Q, \qquad (**) }[/math]

в котором [math]\displaystyle{ W_t^Q }[/math] — винеровский процесс, с начальным условием

[math]\displaystyle{ X_0=x }[/math].

Многомерный вариант

Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная [math]\displaystyle{ x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n }[/math].

В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \mu_i(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_i} + \tfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} - V(x,t) u + f(x,t) = 0 }[/math]

и n-мерный случайный процесс [math]\displaystyle{ X_t }[/math] описывается стохастическим уравнением

[math]\displaystyle{ dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \Sigma(X_t,t)\,dW_t^Q, }[/math]

в котором [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — это вектор-столбец [math]\displaystyle{ (\mu_1,\ldots,\mu_n) }[/math], [math]\displaystyle{ W_t^Q }[/math] — n-мерный винеровский процесс, [math]\displaystyle{ \Sigma = (\sigma_{ij}) }[/math] — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей [math]\displaystyle{ \Gamma = (\gamma_{ij}) }[/math] формулой

[math]\displaystyle{ \Gamma = \Sigma \cdot \Sigma^*, }[/math]

звёздочка означает транспонирование.

См. также

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Ито
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Литература

• Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М.: Мир, 2003.
• Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
• Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
• Klebaner, F.C. Introduction to Stochastic Calculus With Applications. — London, UK: Imperial College Press, 2005.
• Knill, O. Probability Theory And Stochastic Processes With Applications. — Overseas Press, 2009.