Слэш-обозначения Фейнмана
Слэш-обозначения Фейнмана (менее известное как слэш-обозначения Дирака) — удобное обозначение, придуманное Ричардом Фейнманом для полей Дирака в квантовой теории поля. Если A является ковариантным вектором (то есть 1-формой), то
- [math]\displaystyle{ {A\!\!\!/} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \gamma^\mu A_\mu }[/math]
используя соглашение о суммировании Эйнштейна, где γ — гамма-матрицы .
Тождества
Используя антикоммутаторы гамма-матриц, можно показать, что для любого [math]\displaystyle{ a_\mu }[/math] и [math]\displaystyle{ b_\mu }[/math] ,
- [math]\displaystyle{ \begin{align} {a\!\!\!/}{a\!\!\!/} &\equiv a^\mu a_\mu \cdot I_4 = a^2 \cdot I_4 \\ {a\!\!\!/}{b\!\!\!/} + {b\!\!\!/}{a\!\!\!/} &\equiv 2 a \cdot b \cdot I_4\, \end{align} }[/math] ,
где [math]\displaystyle{ I_4 }[/math] — единичная матрица в четырех измерениях.
В частности,
- [math]\displaystyle{ {\partial\!\!\!/}^2 \equiv \partial^2 \cdot I_4. }[/math]
Дальнейшие тождества могут быть получены непосредственно из тождеств гамма-матрицы путем замены метрического тензора на внутренние произведения. Например,
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{tr}({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}) &\equiv 4 a \cdot b \\ \operatorname{tr}({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &\equiv 4 \left[(a \cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right] \\ \operatorname{tr}(\gamma_5 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &\equiv 4 i \epsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} a^\mu b^\nu c^\lambda d^\sigma \\ \gamma_\mu {a\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv -2 {a\!\!\!/} \\ \gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv 4 a \cdot b \cdot I_4 \\ \gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} {c\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv -2 {c\!\!\!/} {b\!\!\!/} {a\!\!\!/} \\ \end{align} }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ \epsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} \, }[/math] — символ Леви-Чивиты.
С четырьмя импульсами
Часто используя уравнение Дирака и решая его для сечений, можно найти обозначение косой черты для четырёхимпульса. Используя базис Дирака для гамма-матриц,
- [math]\displaystyle{ \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix},\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} \, }[/math]
и определение четырёхимпульса
- [math]\displaystyle{ p_\mu = \left(E, -p_x, -p_y, -p_z \right) \, }[/math]
получим
- [math]\displaystyle{ \begin{align} {p\!\!/} &= \gamma^\mu p_\mu = \gamma^0 p_0 + \gamma^i p_i \\ &= \begin{bmatrix} p_0 & 0 \\ 0 & -p_0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \sigma^i p_i \\ -\sigma^i p_i & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} E & -\sigma \cdot \vec{p} \\ \sigma \cdot \vec{p} & -E \end{bmatrix}. \end{align} }[/math]
Аналогичные результаты имеют место в других базисах, таких как базис Вейля.
