Параметризация Фейнмана

Параметризация Фейнмана — это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это полезно при интегрировании в области чистой математики.

Формулы

Ричард Фейнман заметил, что:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{AB}=\int^1_0 \frac{du}{\left[uA +(1-u)B\right]^2} }[/math]

причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает оценить интегралы, такие как:

[math]\displaystyle{ \int \frac{dp}{A(p)B(p)}=\int dp \int^1_0 \frac{du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^2}=\int^1_0 du \int \frac{dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^2}. }[/math]

Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно оценить с помощью подстановки.

В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака [math]\displaystyle{ \delta }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{A_1\cdots A_n}&= (n-1)! \int^1_0 du_1 \cdots \int^1_0 du_n \frac{\delta(1-\sum_{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\sum_{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^n} \\ &=(n-1)! \int^1_0 du_1 \int^{u_1}_0 du_2 \cdots \int^{u_{n-2}}_0 du_{n-1} \frac{1}{\left[A_1+u_1(A_2-A_1)+\dots+u_{n-1} (A_n-A_{n-1})\right]^n}. \end{align} }[/math]

Эта формула действительна для любых комплексных чисел A₁,. , ., A_n, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.

Даже в более общем плане, при условии, что [math]\displaystyle{ \text{Re} ( \alpha_{j} ) \gt 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ 1 \leq j \leq n }[/math] :

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A_{1}^{\alpha_{1}}\cdots A_{n}^{\alpha_{n}}}=\frac{\Gamma(\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n})}{\Gamma(\alpha_{1})\cdots\Gamma(\alpha_{n})}\int_{0}^{1}du_{1}\cdots\int_{0}^{1}du_{n}\frac{\delta(1-\sum_{k=1}^{n}u_{k})\;u_{1}^{\alpha_{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha_{n}-1}}{\left(\sum_{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}}} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — гамма-функция.

Вывод

[math]\displaystyle{ \frac{1}{AB} = \frac{1}{A-B}\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{A}\right)=\frac{1}{A-B}\int_B^A \frac{dz}{z^2}. }[/math]

Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,

[math]\displaystyle{ u=(z-B)/(A-B) }[/math],

что приводит к [math]\displaystyle{ du = dz/(A-B) }[/math],

откуда [math]\displaystyle{ z = uA + (1-u)B }[/math]

и мы получаем искомый результат:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{AB} = \int_0^1 \frac{du}{\left[uA + (1-u)B\right]^2}. }[/math]

В более общих случаях вывод могжет быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана [math]\displaystyle{ \frac{1}{A_1...A_n} }[/math] Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A_i}= \int^\infty_0 ds_i \, e^{-s_i A_i} \ \ \text{for } i =1,\ldots,n }[/math]

и записываем

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A_1\cdots A_n}=\int_0^\infty ds_1\cdots \int_0^\infty ds_n \exp\left(-\left(s_1A_1+\cdots+s_nA_n\right)\right). }[/math]

Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,

[math]\displaystyle{ \alpha = s_1+...+s_n, }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha_{i} = \frac{s_{i}}{s_1+\cdots+s_n}; \ i=1,\ldots,n-1, }[/math]

чтобы получить,

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A_1\cdots A_n} = \int_{0}^{1}d\alpha_1\cdots d\alpha_{n-1} \int_{0}^{\infty}d\alpha\ \alpha^{N-1}\exp\left(-\alpha\left\{ \alpha_1A_1+\cdots+\alpha_{n-1}A_{n-1}+ \left(1-\alpha_{1}-\cdots-\alpha_{n-1}\right)A_{n}\right\} \right). }[/math]

где [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}d\alpha_1\cdots d\alpha_{n-1} }[/math] обозначает интеграцию по площади [math]\displaystyle{ 0 \leq \alpha_i \leq 1 }[/math] с [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \leq 1 }[/math] ,

Следующим шагом является выполнение интегрирования по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}d\alpha\ \alpha^{n-1}\exp(-\alpha x)= \frac{\partial^{n-1}}{\partial(-x)^{n-1}}\left(\int_{0}^{\infty}d\alpha\exp(-\alpha x)\right)=\frac{\left(n-1\right)!}{x^{n}}. }[/math]

где мы определили [math]\displaystyle{ x= \alpha_1A_1+\cdots+\alpha_{n-1}A_{n-1}+ \left(1-\alpha_{1}-\cdots-\alpha_{n-1}\right)A_{n}. }[/math]

Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A_1\cdots A_n}=\left(n-1\right)!\int_{0}^{1}d\alpha_1\cdots d\alpha_{n-1}\frac{1}{[\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_{n-1}A_{n-1}+ \left(1-\alpha_{1}-\cdots-\alpha_{n-1}\right)A_{n}]^n} , }[/math]

и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A_1\cdots A_n}=\left(n-1\right)!\int_{0}^{1}d\alpha_1\cdots\int_{0}^{1}d\alpha_{n}\frac{\delta\left(1-\alpha_1-\cdots-\alpha_n\right)}{[\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_{n}A_{n}]^n} . }[/math]

Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая, : [math]\displaystyle{ \frac{1}{A_1^{\alpha_1}...A_n^{\alpha_n}} }[/math] можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A_1^{\alpha_1}} = \frac{1}{\left(\alpha_1-1\right)!}\int^\infty_0 ds_1 \,s_1^{\alpha_1-1} e^{-s_1 A_1} = \frac{1}{\Gamma(\alpha_1)}\frac{\partial^{\alpha_1-1}}{\partial(-A_1)^{\alpha_1-1}}\left(\int_{0}^{\infty}ds_1 e^{-s_1 A_1}\right) }[/math]

и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.

Альтернативная форма

Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,

[math]\displaystyle{ \frac{1}{AB} = \int_{0}^{\infty} \frac{d\lambda}{\left[\lambda A + B\right]^2}. }[/math]

Эта форма может быть получена с помощью замены переменных [math]\displaystyle{ \lambda = u / ( 1 - u ) }[/math], Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что [math]\displaystyle{ d\lambda = du/(1-u)^{2} }[/math], затем

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{AB} & = \int^1_0 \frac{du}{\left[uA +(1-u)B\right]^2} \\ & = \int^1_0 \frac{du}{(1-u)^{2}} \frac{1}{\left[\frac{u}{1-u} A + B \right]^2} \\ & = \int_{0}^{\infty} \frac{d\lambda}{\left[\lambda A + B\right]^2} \\ \end{align} }[/math]

В более общем случае мы имеем

[math]\displaystyle{ \frac{1}{A^{m}B^{n}} = \frac{\Gamma( m+n)}{\Gamma(m)\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{m-1}d\lambda}{\left[\lambda A + B\right]^{n+m}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — гамма-функция .

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя [math]\displaystyle{ A }[/math] с квадратичным знаменателем [math]\displaystyle{ B }[/math], например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).

Симметричная форма

Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math], что приводит к:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{AB} = 2\int_{-1}^1 \frac{du}{\left[(1+u)A + (1-u)B\right]^2}. }[/math]