Уравнение Удвадия — Калабы

В классической механике уравнение Удвадия — Калабы представляет собой метод получения уравнений движения механической системы с ограничениями (связями)^[1]. Уравнение было впервые получено Фирдаусом Э. Удвадия и Робертом Э. Калабой в 1992 году.^[2] Подход основан на принципе наименьшего принуждения Гаусса. Уравнение Удвадия — Калабы применимо к широкому классу связей, как голономных, так и неголономных, если они линейны относительно ускорений. Уравнение также можно обобщить на связи, которые не подчиняются принципу Даламбера^[3]^[4]^[5].

История

Уравнение Удвадия — Калабы было получено в 1992 году и описывает движение механической системы с механическими связями.^[2]

Этот подход отличается от лагранжевого формализма, который использует множители Лагранжа для описания движения механических систем со связями и другие аналогичные подходы, такие как подход Гиббса — Аппеля. Физическая интерпретация уравнения имеет важное значение в областях, выходящих за рамки классической механики, таких как управление сильно нелинейными общими динамическими системами.

Основная задача движения со связями

При изучении динамики механических систем, конфигурация данной системы S, как правило, полностью описывается n обобщёнными координатами, так что её обобщённый координатный n- вектор-столбец задаётся

[math]\displaystyle{ \mathbf{q}:=[q_1,q_2,\ldots,q_n]^\mathrm{T}. }[/math]

где Т обозначает операция транспонирования. Используя ньютоновскую или лагранжеву динамику, уравнения движения исследуемой системы S без связей можно записать в виде матричного уравнения (см. Матричное умножение):

Уравнение движения Удвадия — Калабы

[math]\displaystyle{ \mathbf{M}(q,t)\ddot{\mathbf{q}}(t)=\mathbf{Q}(q,\dot{q},t)\,, }[/math]

где точки обозначают производные по времени:

[math]\displaystyle{ \dot{q}_i = \frac{dq_i}{dt}\,. }[/math]

Предполагается, что начальные условия q (0) и [math]\displaystyle{ \dot{\mathbf{q}}(0) }[/math] заданы. Систему S называют неограниченной, если вектор скоростей [math]\displaystyle{ \dot{\mathbf{q}}(0) }[/math] можно задать произвольно.

n-вектор Q обозначает полную обобщённую силу, действующую на систему благодаря некоторым внешним воздействиям; она может представлять собой как сумму всех консервативных сил, так и неконсервативных сил.

nxn матрица M симметрична, и она может быть как положительно определённой [math]\displaystyle{ (\mathbf{M} \gt 0) }[/math]так и полуположительно определённый [math]\displaystyle{ (\mathbf{M} \geq 0) }[/math]. Как правило, предполагается, что М положительно определённа; тем не менее, нередко неограниченные уравнения движения системы S получаются и при полуположительно определённой M, когда массовая матрица оказывается сингулярной, то есть для которой не существует обратной матрицы^[6]^[7].

Связи

Теперь предположим, что на неограниченную систему S налагается множество m согласованных связей вида

[math]\displaystyle{ \mathbf{A}(q,\dot{q},t)\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{b}(q,\dot{q},t), }[/math]

где A — известная m- by- n матрица ранга r, а b — известный m- вектор. Отметим, что такой набор уравнений связей охватывает очень большое разнообразие связей голономного и неголономного характера. Например, голономные связи вида

[math]\displaystyle{ \varphi(q,t) = 0 }[/math]

дифференцируются дважды по времени, в то время как неголономные связи вида

[math]\displaystyle{ \psi(q,\dot{q},t) = 0 }[/math]

можно дифференцировать один раз по времени, чтобы получить m- by- n матрицу A и m -вектор b . То есть связи, могут быть следующих типов

нелинейные функции перемещения и скорости,
явно зависящие времени, и
функционально зависимые.

Вследствие наличия этих связей в неограниченной системе S возникают дополнительные силы, а именно силы связей. Следовательно, для ограниченной системы S_c можно записать

Уравнение Удвадия — Калабы со связями

[math]\displaystyle{ \mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}}=\mathbf{Q}+\mathbf{Q}_{c}(q,\dot{q},t), }[/math]

где Q_c — сила связи — это дополнительная сила, необходимая для удовлетворения наложенным ограничениям. Основная задача движения с связями теперь формулируется следующим образом:

заданы неограниченные уравнения движения системы S,
заданы обобщённые координаты q(t) и обобщенные скорости [math]\displaystyle{ \dot{q}(t) }[/math] ограниченной системы S_c в момент времени t, и
заданы связи в виде [math]\displaystyle{ \mathbf{A}\ddot{q}=\mathbf{b} }[/math] указаном выше,

найти уравнения движения для ограниченной системы — ускорения — в момент времени t, что соответствует принципами аналитической динамики.

Уравнение движения

Решение основной задачи даётся уравнением Удвадия — Калабы. Когда матрица M положительно определена, уравнение движения ограниченной системы S_c в каждый момент времени имеет вид^[2]^[8]

[math]\displaystyle{ \mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{Q} + \mathbf{M}^{1/2}\left(\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1/2}\right)^+(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1}\mathbf{Q}), }[/math]

где символ «+» обозначает псевдообратную матрицу [math]\displaystyle{ \mathbf{A}\mathbf{M}^{-1/2} }[/math] , Таким образом, сила связи задаётся в явном виде как

[math]\displaystyle{ \mathbf{Q}_{c} = \mathbf{M}^{1/2}\left(\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1/2}\right)^+(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1}\mathbf{Q}), }[/math]

и поскольку матрица M положительно определена, то обобщённое ускорение ограниченной системы S_c запишется в виде

[math]\displaystyle{ \ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{Q} + \mathbf{M}^{-1/2}\left(\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1/2}\right)^+(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1}\mathbf{Q}). }[/math]

В случае, если матрица M является полуположительно определённой [math]\displaystyle{ (\mathbf{M} \geq 0) }[/math] вышеприведённое уравнение нельзя использовать напрямую, поскольку M может оказаться сингулярной. Кроме того, обобщённые ускорения могут быть не единственными, кроме случая, когда (n + m) x n матрица

[math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{M}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{M} \\ \mathbf{A} \end{array}\right] }[/math]

имеет полный ранг = n^[6]^[7]. Но поскольку наблюдаемые ускорения механических систем в природе всегда уникальны, то это условие, накладываемое на ранг, является необходимым и достаточным условием для получения однозначно определённых обобщённых ускорений ограниченной системы S_c в каждый момент времени. Таким образом, когда [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{M}} }[/math] имеет полный ранг, уравнения движения ограниченной системы S_c в каждый момент времени однозначно определяются путем (1) создания вспомогательной неограниченной системы

[math]\displaystyle{ \mathbf{M}_\mathbf{A} \ddot{\mathbf{q}}:=(\mathbf{M}+\mathbf{A}^+\mathbf{A})\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{Q} + \mathbf{A}^+\mathbf{b} := \mathbf{Q}_\mathbf{b}, }[/math]

и (2) применяя фундаментальное уравнение для движения со связями к этой вспомогательной неограниченной системе так, чтобы вспомогательные уравнения движения со связями были явно заданы в^[7]

[math]\displaystyle{ \mathbf{M}_\mathbf{A} \ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{Q}_\mathbf{b} + \mathbf{M}_\mathbf{A}^{1/2}(\mathbf{A}\mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1/2})^+(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1}\mathbf{Q}_\mathbf{b}). }[/math]

Кроме того, если матрица [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{M}} }[/math] имеет полный ранг, то матрица [math]\displaystyle{ \mathbf{M}_\mathbf{A} }[/math] всегда положительно определена. Это явно даёт обобщенные ускорения ограниченной системы S_c в виде

[math]\displaystyle{ \ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1}\mathbf{Q}_\mathbf{b} + \mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1/2}(\mathbf{A}\mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1/2})^+(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1}\mathbf{Q}_\mathbf{b}). }[/math]

Это уравнение справедливо, когда матрица M является либо положительно определённой, либо положительной полуопределенной. Если сила связи, которая заставляет ограниченную систему S _c — систему, которая может иметь сингулярную массовую матрицу M — удовлетворяет наложенным связям, то она явно задается в виде

[math]\displaystyle{ \mathbf{Q}_{c} = \mathbf{M}_\mathbf{A}^{1/2}(\mathbf{A}\mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1/2})^+(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{M}_\mathbf{A}^{-1}\mathbf{Q}_\mathbf{b}). }[/math]

Неидеальные связи

В любое время во время движения можно рассмотреть возмущение системы как виртуальные смещения δr, согласующимися с ограничениями системы. Смещение может быть либо обратимым, либо необратимым. Если смещение необратимо, то оно выполняет виртуальную работу. Можно записать виртуальную работу смещения как

[math]\displaystyle{ W_c(t)=\mathbf{C}^{\mathrm{T}}(q,\dot{q},t)\delta\mathbf{r}(t) }[/math]

Здесь вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(q,\dot{q},t) }[/math] описывает неидеальность виртуальной работы, которая может быть связана, например, с силами трения или сопротивления (такие силы зависят от скорости). Это обобщенный принцип Даламбера, где обычная форма принципа задаётся исчезающей виртуальной работой с [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(q,\dot{q},t)=0 }[/math].

Уравнение Удвадия — Калабы модифицируется с использованием дополнительного слагаемого отвечающим за неидеальные связи

[math]\displaystyle{ \mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{Q} + \mathbf{M}^{1/2}\left(\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1/2}\right)^+(\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1}\mathbf{Q}) + \mathbf{M}^{1/2}\left[\mathbf{I}-\left(\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1/2}\right)^+\mathbf{A}\mathbf{M}^{-1/2}\right]\mathbf{M}^{-1/2}\mathbf{C} }[/math]

Примеры

Обратная задача Кеплера

Метод позволяет найти решение обратной задачи Кеплера об определении закона для силы, который соответствует орбитам, в виде конических сечений^[9]. Пусть отсутствуют внешние силы (даже гравитации), и вместо этого ограничиваем движение частицы, которая следует орбите вида

[math]\displaystyle{ r=\epsilon x + l }[/math]

где [math]\displaystyle{ r=\sqrt{x^2+y^2} }[/math], [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] — эксцентриситет, а l — полуось. Дифференцирование дважды по времени и небольшая перегруппировка даёт связь

[math]\displaystyle{ (x-r\epsilon)\ddot{x} + y\ddot{y} = -\frac{(x\dot{y}-y\dot{x})^2}{r^2} }[/math]

Предположим, что тело имеет постоянную массу, и что момент импульса вокруг фокуса сохраняется

[math]\displaystyle{ m(x\dot{y}-y\dot{x})=L }[/math]

с производной по времени

[math]\displaystyle{ x\ddot{y}-y\ddot{x}=0 }[/math]

Две связи объединяются в матричное уравнение

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x-r\epsilon & y \\ y & -x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{L^2}{m^2r^2} \\ 0 \end{pmatrix} }[/math]

Обратная для матрицы связей

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x-r\epsilon & y \\ y & -x \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{lr} \begin{pmatrix} x & y \\ y & -(x-r\epsilon) \end{pmatrix} }[/math]

Следовательно, ограничивающая сила — это ожидаемый закон обратных квадратов

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_c = m\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} = \frac{m}{lr} \begin{pmatrix} x & y \\ y & -(x-r\epsilon) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{L^2}{m^2r^2} \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{L^2}{mlr^2} \begin{pmatrix} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} }[/math]

Наклонная плоскость с трением

Рассмотрим небольшой блок постоянной массы на наклонной плоскости с углом [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] к горизонтали. Ограничение на то, что блок лежит на плоскости, можно записать в виде

[math]\displaystyle{ y=x\tan{\alpha} }[/math]

Взяв две производные по времени, стандартная форма уравнения для матрицы связей представляется в виде

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} -\tan{\alpha} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = 0 }[/math]

У матрицы связей есть псевдообратная

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} -\tan{\alpha} & 1 \end{pmatrix}^+ = \cos^2{\alpha} \begin{pmatrix} -\tan{\alpha} \\ 1 \end{pmatrix} }[/math]

Допускается скольжение трения между блоком и наклонной плоскостью. Параметризуется эта силу стандартным коэффициентом трения, умноженным на нормальную силу

[math]\displaystyle{ \mathbf{C}=-\mu m g \cos{\alpha} \sgn{\dot{y}} \begin{pmatrix} \cos{\alpha} \\ \sin{\alpha} \end{pmatrix} }[/math]

В то время как сила тяжести обратима, сила трения — нет. Следовательно, виртуальная работа, связанная с виртуальным смещением, будет зависеть от C. Просуммировав три силы (внешнюю, идеальную связь и неидеальную связь) следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{ext}=\mathbf{Q}=-mg \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{c,i}=-\mathbf{A}^+\mathbf{A}\mathbf{Q} = mg\cos^2{\alpha} \begin{pmatrix} -\tan{\alpha} \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tan{\alpha} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} = mg \begin{pmatrix} -\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \cos^2{\alpha} \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{c,ni}=(\mathbf{I}-\mathbf{A}^+\mathbf{A})\mathbf{C}=-\mu m g \cos{\alpha} \sgn{\dot{y}} \left[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \cos^2{\alpha} \begin{pmatrix} -\tan{\alpha} \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tan{\alpha} & 1 \end{pmatrix}\right] = -\mu m g \cos{\alpha} \sgn{\dot{y}} \begin{pmatrix} \cos^2{\alpha} \\ \sin{\alpha}\cos{\alpha} \end{pmatrix} }[/math]

Объединяя вышесказанное, уравнения движения

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = \frac{1}{m}\left( \mathbf{F}_{ext} + \mathbf{F}_{c,i} + \mathbf{F}_{c,ni} \right) = -g\left( \sin{\alpha}+\mu\cos{\alpha}\sgn{\dot{y}} \right) \begin{pmatrix} \cos{\alpha} \\ \sin{\alpha} \end{pmatrix} }[/math]

Это похоже на постоянное ускорение направленное вниз из-за гравитации с небольшой модификацией. Если блок движется вверх по наклонной плоскости, то трение увеличивает ускорение. Если блок движется вниз по наклонной плоскости, то трение уменьшает ускорение.

Примечания

↑ Udwadia F. E., Kalaba R. E. Analytical Dynamics: A New Approach. — Cambridge : Cambridge University Press, 1996. — ISBN 0-521-04833-8.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Udwadia (1992). «A new perspective on constrained motion». Proceedings of the Royal Society of London, Series A 439 (1906): 407–410. doi:10.1098/rspa.1992.0158. Bibcode: 1992RSPSA.439..407U.
↑ Udwadia (2002). «On the Foundations of Analytical Dynamics». International Journal of Nonlinear Mechanics 37 (6): 1079–1090. doi:10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Bibcode: 2002IJNLM..37.1079U.
↑ Calverley. Constrained or Unconstrained, That Is the Equation, USC News (2001). Архивировано 25 августа 2019 года. Дата обращения 4 декабря 2020.
↑ Udwadia (2002). «What is the General Form of the Explicit Equations of Motion for Constrained Mechanical Systems?». Journal of Applied Mechanics 69 (3): 335–339. doi:10.1115/1.1459071. Bibcode: 2002JAM....69..335U.
↑ ^6,0 ^6,1 Udwadia (2006). «Explicit equations of motion for constrained mechanical systems with singular mass matrices and applications to multi-body dynamics». Proceedings of the Royal Society of London, Series A 462 (2071): 2097–2117. doi:10.1098/rspa.2006.1662. Bibcode: 2006RSPSA.462.2097U.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 Udwadia (2010). «Equations of motion for general constrained systems in Lagrangian mechanics». Acta Mechanica 213 (1): 111–129. doi:10.1007/s00707-009-0272-2.
↑ Udwadia (1993). «On motion». Journal of the Franklin Institute 330 (3): 571–577. doi:10.1016/0016-0032(93)90099-G.
↑ Zhang (2015). «A novel study on Kepler's law and inverse square law of gravitation». Eur. J. Phys. 36 (3): 035018. doi:10.1088/0143-0807/36/3/035018. Bibcode: 2015EJPh...36c5018Z.

[uk1996-1] Udwadia F. E., Kalaba R. E. Analytical Dynamics: A New Approach. — Cambridge : Cambridge University Press, 1996. — ISBN 0-521-04833-8.

[uk1992-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Udwadia (1992). «A new perspective on constrained motion». Proceedings of the Royal Society of London, Series A 439 (1906): 407–410. doi:10.1098/rspa.1992.0158. Bibcode: 1992RSPSA.439..407U.

[3] Udwadia (2002). «On the Foundations of Analytical Dynamics». International Journal of Nonlinear Mechanics 37 (6): 1079–1090. doi:10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Bibcode: 2002IJNLM..37.1079U.

[4] Calverley. Constrained or Unconstrained, That Is the Equation, USC News (2001). Архивировано 25 августа 2019 года. Дата обращения 4 декабря 2020.

[5] Udwadia (2002). «What is the General Form of the Explicit Equations of Motion for Constrained Mechanical Systems?». Journal of Applied Mechanics 69 (3): 335–339. doi:10.1115/1.1459071. Bibcode: 2002JAM....69..335U.

[UdwadiaPho-6] 6,0 ^6,1 Udwadia (2006). «Explicit equations of motion for constrained mechanical systems with singular mass matrices and applications to multi-body dynamics». Proceedings of the Royal Society of London, Series A 462 (2071): 2097–2117. doi:10.1098/rspa.2006.1662. Bibcode: 2006RSPSA.462.2097U.

[UdwadiaSch-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 Udwadia (2010). «Equations of motion for general constrained systems in Lagrangian mechanics». Acta Mechanica 213 (1): 111–129. doi:10.1007/s00707-009-0272-2.

[8] Udwadia (1993). «On motion». Journal of the Franklin Institute 330 (3): 571–577. doi:10.1016/0016-0032(93)90099-G.

[9] Zhang (2015). «A novel study on Kepler's law and inverse square law of gravitation». Eur. J. Phys. 36 (3): 035018. doi:10.1088/0143-0807/36/3/035018. Bibcode: 2015EJPh...36c5018Z.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]