Принцип наименьшего принуждения
При́нцип наименьшего принуждения, или при́нцип Га́усса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.
Принцип наименьшего принуждения относится к числу дифференциальных вариационных принципов механики и предложен[1] К. Ф. Гауссом в 1829 г. в работе «Об одном новом общем законе механики». Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной»[2].
Формулировка принципа у Гаусса не отличалась достаточной определённостью. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имела[3] работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределил[4] принуждение как следующее (в современных обозначениях[5]) выражение:
- [math]\displaystyle{ Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}}\,m_{i}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2} }[/math] ,
где [math]\displaystyle{ N }[/math] — число точек, входящих в систему, [math]\displaystyle{ m_{i} }[/math] — масса [math]\displaystyle{ i }[/math]-й точки, [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{i} }[/math] — равнодействующая приложенных к ней активных сил, [math]\displaystyle{ \mathbf{w}_{i} }[/math] — ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). После этого математическим выражением принципа наименьшего принуждения стало наличие минимума у функции [math]\displaystyle{ Z }[/math].
Обоснование
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/images/b/b2/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F.jpg)
Пусть точка механической системы с массой [math]\displaystyle{ m_{i} }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t_{0} }[/math] находится в положении [math]\displaystyle{ M_{i} }[/math]. При свободном движении точка за очень малый промежуток [math]\displaystyle{ \tau }[/math] пройдёт расстояние [math]\displaystyle{ \overline{M_{i}A_{i}}\,=\,\mathbf{v}_{i}\,\tau }[/math] (рис.1), где [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_{i} }[/math] — скорость точки в момент времени [math]\displaystyle{ t_0 }[/math]. Если же на точку будет действовать активная сила [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{i} }[/math], точка под воздействием этой силы совершит перемещение [math]\displaystyle{ \overline{M_{i}B_{i}} }[/math]. Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{r}(t_{0}+\tau)\;=\;\mathbf{r}(t_{0})+\overset{\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\,\tau+\frac{1}{2}\;\overset{\cdot\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\,\tau^{2}+... }[/math]
Но
- [math]\displaystyle{ \overset{\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\;=\;\mathbf{v}, \;\;\overset{\cdot\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\;=\;\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}} }[/math]
Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:
- [math]\displaystyle{ \overline{M_{i}B_{i}}\;=\;\mathbf{v}_{i}\,\tau+\frac{1}{2}\;\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\,\tau^{2} }[/math]
Если же на точку наложить связи, то её перемещение по действием силы [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{i} }[/math] и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:
- [math]\displaystyle{ \overline{M_{i}C_{i}}\;=\;\mathbf{v}_{i}\,\tau+\frac{1}{2}\;\mathbf{w}_{i}\,\tau^{2} }[/math] ,
где [math]\displaystyle{ \mathbf{w}_{i} }[/math] — ускорение точки в её действительном движении. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором [math]\displaystyle{ \overline{B_{i}C_{i}} }[/math]. Очевидно, что
- [math]\displaystyle{ \overline{B_{i}C_{i}}\;=\;\overline{M_{i}C_{i}}-\overline{M_{i}B_{i}}\;=\;\frac{1}{2}\;\tau^{2}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right) }[/math]
с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения [math]\displaystyle{ \overline{B_{i}C_{i}} }[/math], которую и назвал принуждением. Принуждение для точки с массой [math]\displaystyle{ m_{i} }[/math] имеет следующее выражение:
- [math]\displaystyle{ Z_{i}\;=\;\frac{1}{2}\;m_{i}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2} }[/math]
Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:
- [math]\displaystyle{ Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}}\,m_{i}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2} }[/math]
Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении
- [math]\displaystyle{ \delta\,Z\;=\;0 }[/math]
причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.
Значение принципа Гаусса
Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механик М. В. Остроградский, который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г. «О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям» Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениями[6]. В 1878 г. И. И. Рахманинов придал[7] принципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его как принцип наименьшей потерянной работы[8].
Французский математик Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано»[9].
Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется[10] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем. Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных с компьютерным моделированием динамики систем твёрдых тел (в частности, манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методами математического программирования[11].
Принцип Гаусса обобщён[12] на случай освобождения системы от части связей[13][14], а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред[15].
См. также
Примечания
- ↑ Тюлина, 1979, с. 178.
- ↑ Гаусс К. Об одном новом общем принципе механики (Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (недоступная ссылка) // Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. — S. 232—235.) // Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959. — 932 с. — С. 170—172.
- ↑ Моисеев, 1961, с. 334.
- ↑ Тюлина, 1979, с. 179—180.
- ↑ Маркеев, 1990, с. 90.
- ↑ Моисеев, 1961, с. 336.
- ↑ Рахманинов И. И. Начало наименьшей потерянной работы как общее начало механики // Изв. Киевского ун-та. 1878. № 4. — С. 1—20.
- ↑ Маркеев, 2000, с. 38—39.
- ↑ Погребысский, 1964, с. 270.
- ↑ Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 719 с. — ISBN 5-211-04244-1. — С. 427.
- ↑ Верещагин А. Ф. Принцип Гаусса наименьшего принуждения в динамике исполнительных механизмов роботов // Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. — М.: Наука, 1978. — 400 с. — С. 77—102.
- ↑ Маркеев, 2000, с. 43.
- ↑ Болотов Е. А. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 2. 1916. Т. 21, № 3. — С. 99—152.
- ↑ Четаев Н. Г. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3. 1932—1933. Т. 6. — С. 68—71.
- ↑ Румянцев В. В. О некоторых вариационных принципах в механике сплошных сред // Прикл. матем. и мех. 1973. Т. 37. Вып. 6. — С. 963—973.
Литература
- Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959. — 932 с.
- Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Мир, 1965. — 408 с.
- Маркеев А. П. О принципе Гаусса // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Вып. 23. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 264 с. — С. 29—45.
- Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.
- Моисеев Н. Д. Очерки истории развития механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1961. — 478 с.
- Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века. — М.: Наука, 1964. — 327 с.
- Тюлина И. А. История и методология механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. — 282 с.
- Цыганова Н. Я. Основные этапы развития принципа наименьшего принуждения // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1979. — Вып. 9. — С. 122—134.