Уравнения Аппеля

В классической механике уравне́ния Аппе́ля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 . Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.

Формулировка

Пусть задана механическая система из [math]\displaystyle{ N }[/math] материальных точек с массами [math]\displaystyle{ m_1, m_2, \dots , m_N }[/math], на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:

(1) [math]\displaystyle{ f_{\alpha}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \alpha = 1,...,d }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ \sum_{\nu=1}^{N} \mathbf{A}_{\beta \nu}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) \cdot \mathbf{\dot{r}}_\nu + A_{\beta}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \beta = 1,...,g }[/math]

Требуется описать движение системы, если известны активные силы [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_1,...,\mathbf{F}_N }[/math] (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).

Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.

В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:

(3) [math]\displaystyle{ \frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{k}} = G_{k}, \quad k=1,...,n }[/math]

где

[math]\displaystyle{ n = 3N - d }[/math] — число геометрических степеней свободы системы;

[math]\displaystyle{ q_1, ..., q_n }[/math] — произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);

[math]\displaystyle{ G_1, ..., G_n }[/math] — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении [math]\displaystyle{ \delta\mathbf{r} = (\delta\mathbf{r}_1,...,\delta\mathbf{r}_N) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \delta A = \mathbf{F}_1\delta\mathbf{r}_1 + \ldots + \mathbf{F}_N\delta\mathbf{r}_N = G_1\delta q_1 + \ldots + G_n\delta q_n }[/math]

(4) [math]\displaystyle{ S = \frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \mathbf{\ddot{r}}_{\nu}^2 }[/math] — так называемая «энергия ускорений», в формуле (3) величина [math]\displaystyle{ S }[/math] — функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.

В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:

(5) [math]\displaystyle{ \dot{\pi}_k = \sum_{i=1}^n\lambda_{ik}\dot{q}_i + \lambda_k, \quad k = 1, ..., n-g }[/math].

В этих обозначениях точка сверху над именем переменной [math]\displaystyle{ \pi_k }[/math] не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной [math]\displaystyle{ \pi_k }[/math], производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.

Коэффициенты [math]\displaystyle{ \lambda_{ik} }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda_{i} }[/math] могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных [math]\displaystyle{ \dot{q}_i }[/math] в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.

В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:

(6) [math]\displaystyle{ \frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{k}} = G_{k}, \quad k=1,...,n - g }[/math]

где

[math]\displaystyle{ n = 3N - d }[/math] — число геометрических степеней свободы системы;

[math]\displaystyle{ \pi_1, ..., \pi_{n-g} }[/math] — система псевдокоординат;

[math]\displaystyle{ G_1, ..., G_{n-g} }[/math] — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: [math]\displaystyle{ \delta A = G_1\delta \pi_1 + \ldots + G_n\delta \pi_{n-g} }[/math];

функция S — та же, что в (4), но выраженная через переменные [math]\displaystyle{ t,q_1,...,q_n,\dot{\pi}_1,...,\dot{\pi}_{n-g},\ddot{\pi}_1,...,\ddot{\pi}_{n-g} }[/math] (в обозначениях переменных [math]\displaystyle{ \ddot{\pi}_i }[/math] только одна из точек — производная по времени!).

Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).

Литература

Публикации П. Аппеля по данному вопросу

• PDF copy of Appell’s article at Goettingen University
• PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle

Дополнительная литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е издание, переработанное и дополненное — М.: Изд-во МГУ — 1974 г., 645 с.