Троичная логика

Трои́чная ло́гика (трёхзначная логика или тернарная логика) — один из видов многозначной логики, предложенный Яном Лукасевичем в 1920 году. Трёхзначная логика — исторически первая многозначная логика, является простейшим расширением двузначной логики.

Классификация

Различают чёткую ТЛ, в которой все три значения определяются как конкретные числовые значения (например, [math]\displaystyle{ \{0,1,2\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{-1,0,+1\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{0,{}^1\!/_2,1\} }[/math]), а также ряд нечётких троичных логик с одним, двумя и трёмя нечёткими логическими значениями (выражаемые числами как диапазоны значений).

Нечёткая троичная логика с одним нечётким значением дополняет значения [math]\displaystyle{ 0 }[/math] («ложь») и [math]\displaystyle{ 1 }[/math] («истина») нечётким значением «неопределённость», занимающую (в сравнении с вероятностной логикой) весь интервал [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. Примером значений ТЛ с двумя нечёткими значениями можно назвать («меньше», «равно», «больше»), («отрицательно», 0, «положительно»).

Высокий практический интерес представляет ТЛ с тремя нечёткими значениями, так как любая измеряемая (например, посредством датчиков) информация верна лишь с определенным допуском, то есть в некотором диапазоне значений. Примерами значений таких логик могут быть тройки («меньше», «равно, в пределах допуска», «больше»), («уклон влево», «прямо, в допустимых пределах», «уклон вправо»), («холодно», «прохладно», «жарко») и другие.

Алгебраические свойства

Троичная логика, в отличие от двоичной, не булево кольцо и обладает собственным математическим аппаратом. Он состоит из системы аксиом, которые определяют над множеством {«1», «0», «1»} одноместные и двухместные операции, а также выводимые из них свойства.

Для конъюнкции и дизъюнкции в тройной логике сохраняются коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный) и дистрибутивный (распределительный) законы.

Несколько свойств образуются благодаря особенности отрицания Лукасевича:

• [math]\displaystyle{ \lnot \bar{1} = 1 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lnot (x \land \bar{1}) = \lnot x \lor 1 }[/math]

Однако из-за наличия третьего состояния некоторые законы двоичной логики оказываются неверными, для них сформулированы троичные аналоги. Так, вместо закона противоречия стали применять закон несовместности состояний, вместо закона исключённого третьего — закон полноты состояний (закон исключённого четвёртого), вместо неверного закона Блейка—Порецкого применяют трёхчленный закон Блейка—Порецкого.

Физическая реализация

При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы, в общем случае не обязательно электронные.

Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП-технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная.

На основе троичных элементов — троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова — в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь», выпущена в 46 экземплярах.

Логики

Логики Клини и Приста

Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox, LP) Грэма Приста. Обе логики имеют три логических значения — «ложь», «неопределённость» (в логике Приста — «парадокс») и «истина», которые в логике Клини обозначаются буквами F (false), U (unknown), T (true), а в логике Приста числами −1, 0 и 1.

F: false, U: unknown, T: true NOT(A) A ¬ A F T U U T F AND(A, B) A ∧ B B F U T A F F F F U F U U T F U T OR(A, B) A ∨ B B F U T A F F U T U U U T T T T T

−1: false, 0: «paradoxical», +1: true NEG(A) A ¬ A −1 +1 0 0 +1 −1 MIN(A, B) A ∧ B B −1 0 +1 A −1 −1 −1 −1 0 −1 0 0 +1 −1 0 +1 MAX(A, B) A ∨ B B −1 0 +1 A −1 −1 0 +1 0 0 0 +1 +1 +1 +1 +1

Значение U в логике Клини присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции oper выполняется соотношение
oper(F,F)=oper(F,T), то oper(F,U)=oper(F,F)=oper(F,T);
аналогично, если
oper(T,F)=oper(T,T), то oper(T,U)=oper(T,F)=oper(T,T).

В отличие от логики Клини, в логике Приста значение 0 определено и считается одновременно и истинным, и ложным (парадоксальным). Разница заключается в определении тавтологий. Тогда как в логике Клини только одно выделенное истинностное значение — это T, в логике Приста оба значения — 1 и 0 — являются выделенными.

При численном обозначении логических значений (-1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:

[math]\displaystyle{ \bar{X}=-X; }[/math]

[math]\displaystyle{ X \lor Y = max(X,Y); }[/math]

[math]\displaystyle{ X \land Y = min(X,Y). }[/math]

Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:

[math]\displaystyle{ X \rightarrow Y \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \bar{X} \lor Y }[/math].

Таблицы истинности для неё

IMPK(A, B), OR(¬A, B) A → B B T U F A T T U F U T U U F T T T

IMPK(A, B), MAX(−A, B) A → B B +1 0 −1 A +1 +1 0 −1 0 +1 0 0 −1 +1 +1 +1

Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.

Функциональный подход

Назовём функцию [math]\displaystyle{ y=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n) }[/math] функцией трёхзначной логики, если все её переменные принимают значения из множества {0,1,2} и сама функция принимает значения из этого же множества. Примеры функций: max(x, y), min(x, y), x+1 (mod 3). Обозначим [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] множество всех функций трёхзначной логики. Под операцией над функциями будем понимать суперпозицию. Класс функций K из [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] назовём замкнутым, если любая суперпозиция функций из K принадлежит K. Система функций класса K называется полной, если любая функция из K может быть представлена суперпозицией функций этой системы. Полная система называется базисом, если никакая функция из этой системы не может быть представлена суперпозицией остальных функций этой системы. Доказано, что в [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] существует конечный базис (в частности, состоящий из одной функции). Замкнутый класс K называется предполным, если он не совпадает с [math]\displaystyle{ P_3 }[/math], но добавление любой функции, ему не принадлежащей, порождает [math]\displaystyle{ P_3 }[/math]. С. В. Яблонским доказано, что в [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] существует 18 предполных классов. Также доказано, что все они имеют конечные базисы, в частности, состоящие из функций, зависящих не более чем от двух переменных. Ю. И. Янов и А. А. Мучник доказали, что в [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] существуют классы функций, не имеющие базиса, и классы функций, имеющие бесконечный базис. Отсюда следует, что множество замкнутых классов в [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] имеет мощность континуума. Этим трёхзначная (и любая многозначная) логика существенно отличается от двухзначной, где, как доказано Постом, все замкнутые классы имеют конечный базис и множество замкнутых классов счётно.

Использование в базах данных

В некоторых системах управления базами данных используется специальное значение UNKNOWN, которое может быть результатом логической операции, наряду со значениями TRUE и FALSE.

Смысл значения UNKNOWN — «неизвестность», то есть неопределённый результат операции. Значение UNKNOWN может использоваться тогда, когда в применяемой системе разработки программного обеспечения используется специальное значение NULL. Значение UNKNOWN возвращает операцию сравнения, если один или оба из её операндов равны NULL, а также некоторые логические операции, если одним из их операндов является значение UNKNOWN. Условными операторами языков программирования значение UNKNOWN обрабатывается аналогично FALSE, то есть конструкция вида:

 if UNKNOWN then a := 1 else a := 2

приведёт к присваиванию переменной a значения 2.

Правила операций с UNKNOWN

• Любая операция сравнения любого значения с NULL или UNKNOWN даёт в результате UNKNOWN.
• not UNKNOWN = UNKNOWN
• TRUE and UNKNOWN = UNKNOWN
• FALSE and UNKNOWN = FALSE
• TRUE or UNKNOWN = TRUE
• FALSE or UNKNOWN = UNKNOWN
• TRUE xor UNKNOWN = UNKNOWN
• FALSE xor UNKNOWN = UNKNOWN

См. также

• Троичные функции
• Троичный разряд
• Троичный триггер
• Троичный сумматор
• Троичная ЭВМ
• Сетунь (компьютер)
• Многозначная логика
• Аймара (язык)

Литература

• D. C. Rine (ed.), Computer Science and Multiple-Valued Logic. Theory and Applications. Elsevier, 1977, 548p. ISBN 9780720404067
• Васильев Н. И. Воображаемая логика. — М.: Наука, 1989.
• Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. — М.: Наука, 1997.
• Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. — М.: Мир, 1973.
• Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: Иностранная литература, 1959.
• Слинин Я. А. Современная модальная логика. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976.
• Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967.
• Гетманова А. Д. Учебник по логике. — М.: Владос, 1995. — С. 259—268. — 303 с. — ISBN 5-87065-009-7.
• Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. — М.: Машиностроение, 1990. — 560 с. — ISBN 5-217-00617-X.
• Яблонский С. И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 51, 1958
• Янов Ю. И., Мучник А. А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, № 1, 1959
• Гниденко В. М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962
• Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, № 1, 1941
• Гектор Гарсиа-Молина, Джеффри Д. Ульман, Дженнифер Уидом «Системы баз данных. Полный курс»

Ссылки

• Практическое применение троичной логики и её преимущества над двоичной
• Сайт TernaryComp Брусенцова Николая Петровича (НИЛ ВЦ МГУ)