Теория представлений группы Галилея
Теория представлений группы Галилея — в нерелятивистской квантовой механике раскрывает глубокую роль массы и спина в свойствах группы симметрий пространства-времени. В релятивистской механике аналогичную роль играет классификация Вигнера.
Определение
В четырёхмерном пространстве-времени 3 + 1 (и, при очевидном обобщении, в пространстве-времени произвольной размерности n + 1) представление группы Галилея является представлением подгруппы аффинной группы (на пространстве-времени t, x, y, z), линейная часть которой оставляет инвариантной как метрику [math]\displaystyle{ g_{\mu \nu} = diag(1, 0, 0, 0) }[/math] (инвариантность временных интервалов относительно преобразований Галилея) так и (независимо) дуальную метрику [math]\displaystyle{ g_{\mu \nu} = diag(0, 1, 1, 1) }[/math] (инвариантность пространственных интервалов относительно преобразований Галилея).
Проективные представления
В этой статье рассматриваются проективные представления?! этой группы, которые эквивалентны унитарным представлениям нетривиального центрального расширения универсальной покрывающей группы группы Галилея одномерной группой Ли R (см. статью Галилеева группа для центрального расширения ее алгебры Ли). Для их изучения используется метод индуцированных представлений .
Здесь рассматривается (центрально расширенная, Баргман) алгебра Ли, потому что ее проще анализировать, и мы всегда можем распространить результаты на полную группу Ли при помощи теоремы Фробениуса .
- [math]\displaystyle{ [E,P_i]=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ [P_i,P_j]=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ [L_{ij},E]=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ [C_i,C_j]=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ [L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta_{ik}L_{jl}-\delta_{il}L_{jk}-\delta_{jk}L_{il}+\delta_{jl}L_{ik}] }[/math]
- [math]\displaystyle{ [L_{ij},P_k]=i\hbar[\delta_{ik}P_j-\delta_{jk}P_i] }[/math]
- [math]\displaystyle{ [L_{ij},C_k]=i\hbar[\delta_{ik}C_j-\delta_{jk}C_i] }[/math]
- [math]\displaystyle{ [C_i,E]=i\hbar P_i }[/math]
- [math]\displaystyle{ [C_i,P_j]=i\hbar M\delta_{ij} ~. }[/math]
Здесь: E — генератор временных перемещений (гамильтониан), Pi — это генератор перемещений (оператор импульса), Ci — генератор галилеевых бустов, а Lij — генератор вращений (оператор углового момента ). Центральный заряд M является инвариантом Казимира.
Инвариант массовой поверхности
- [math]\displaystyle{ ME-{P^2\over 2} }[/math]
является дополнительным инвариантом Казимира.
В случае четырёхмерного пространства-времени 3 + 1 третьим инвариантом Казимира является W2, где
- [math]\displaystyle{ \vec{W} \equiv M \vec{L} + \vec{P}\times\vec{C} ~, }[/math]
до некоторой степени аналогичный псевдовектору Паули–Любанского релятивистской механики.
В более общем случае n-мерного пространства-времени n + 1 инварианты будут зависеть от
- [math]\displaystyle{ W_{ij} = M L_{ij} + P_i C_j - P_j C_i }[/math]
и
- [math]\displaystyle{ W_{ijk} = P_i L_{jk} + P_j L_{ki} + P_k L_{ij}~, }[/math]
а также от вышеуказанного инварианта массовой оболочки и центрального заряда.
Используя лемму Шура, в неприводимом унитарном представлении, можно показать, что все эти инварианты Казимира тождественно кратны. Назовем коэффициенты кратности m и mE0 и (в случае четырёхмерного пространства-времени 3 + 1) w, соответственно. Вспоминая, что мы рассматриваем здесь унитарные представления, мы видим, что эти собственные значения должны быть вещественными числами.
Классификация по массе
Рассмотрим случаи m > 0, m = 0 и m < 0 (последний случай похож на первый). В случае четырёхмерного пространства-времени 3 + 1 когда инвариант в m > 0, для третьего инварианта мы можем написать, w = ms, где s представляет собой спин или внутренний угловой импульс. В более общем случае n-мерного пространства-времени n + 1 генераторы L и C будут связаны, соответственно, с общим моментом импульса и моментом центра масс, как
- [math]\displaystyle{ W_{ij} = M S_{ij} }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_{ij} = S_{ij} + X_i P_j - X_j P_i }[/math]
- [math]\displaystyle{ C_i = M X_i - P_i t ~. }[/math]
С чисто теоретической точки зрения нужно было бы изучить все представления; но в этой статье нас интересуют только приложения к квантовой механике. Там E представляет энергию, которая должна быть ограничена снизу из соображений термодинамической стабильности. Рассмотрим сначала случай, когда m не равно нулю.
В пространстве (E, [math]\displaystyle{ \vec{P} }[/math]) рассмотрим гиперповерхность, задаваемую уравнением
- [math]\displaystyle{ mE=mE_0+{P^2 \over 2}~, }[/math]
мы видим, что галилеевы бусты действуют транзитивно на этой гиперповерхности. Фактически, рассматривая энергию E как гамильтониан, дифференцируя по P и применяя уравнения Гамильтона, мы получаем соотношение между массой и скоростью [math]\displaystyle{ m \vec{v} = \vec{P} }[/math].
Гиперповерхность параметризуется этой скоростью In [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math]. Рассмотрим стабилизатор точки на орбите (E0, 0), где скорость равна 0. Из-за транзитивности мы знаем, что унитарное неприводимое представление содержит нетривиальное линейное подпространство с этими собственными значениями энергии-импульса. (Это подпространство существует только во вложенном гильбертовом пространстве , потому что спектр импульса непрерывен.)
Подпространство охватывает E, [math]\displaystyle{ \vec{P} }[/math], M и Lij. Мы уже знаем, как подпространство неприводимых представлений преобразуется при всех операторах, кроме углового момента. Обратите внимание, что подгруппа вращения — это Spin(3). Мы должны рассматривать её двойную накрывающую группу , потому что мы рассматриваем проективные представления. Она называется малой группой, по имени, данному Юджином Вигнером. Его метод индуцированных представлений указывает, что неприводимое представление задается прямой суммой всех волокон в векторном расслоении над гиперповерхностью mE = mE0 + P2/2 волокна которой представляют собой унитарное неприводимое представление Spin(3).
Spin(3) — это не что иное, как SU(2). (См. теорию представлений SU(2) , где показано, что унитарные неприводимые представления SU(2) различаются неотрицательным рациональным числом s, кратным половине. По историческим причинам это число было названо спином.)
- Следовательно, для [math]\displaystyle{ m \neq 0 }[/math] унитарные неприводимые представления классифицируются по массе m, энергии E0 и спину s.
- Если масса m отрицательна, то спектр энергий E не ограничен снизу. Следовательно, только случай с положительной массой является допустимым по физическим соображениям.
- Теперь рассмотрим случай, m = 0. Вследствие унитарности, выражение :[math]\displaystyle{ mE-{P^2 \over 2}={-P^2 \over 2} }[/math] является неположительным. Предположим, что оно равна нулю. Здесь это также бусты, а также ротации, которые составляют малую группу. Любое унитарное неприводимое представление этой малой группы также порождает проективное неприводимое представление галилеевой группы. По-видимому, только случай тривиального преобразования в рамках малой группы имеет физическую интерпретацию — он соответствует состоянию без частиц, вакууму .
Случай, когда инвариант отрицателен, требует дополнительного комментария. Это соответствует классу представления для m = 0 и ненулевого [math]\displaystyle{ \vec{P} }[/math]. Расширяя классификацию тардиона, люксона,тахиона от теории представлений группы Пуанкаре до аналогичной классификации, здесь можно назвать эти состояния синхронами. Они представляют собой мгновенную передачу ненулевого импульса на (возможно, большое) расстояние. С ними связан, по вышесказанному, «временной» оператор
- [math]\displaystyle{ t=-{\vec{P}\cdot \vec{C} \over P^2} ~, }[/math]
который может быть идентифицирован со временем передачи. Эти состояния, естественно, интерпретируются как носители сил мгновенного действия на расстоянии.
В 3 + 1 — мерной группе Галилея генератор буста может быть разложен на
- [math]\displaystyle{ \vec{C} = {\vec{W}\times\vec{P} \over P^2} - \vec{P}t~, }[/math]
с [math]\displaystyle{ \vec{W} }[/math] играющим роль, аналогичную спиральности.
См. также
- Галилей-ковариантная тензорная формулировка
- Теория представлений группы Пуанкаре
- Классификация Вигнера
- Псевдовектор Паули–Любанского
- Теория представлений групп диффеоморфизмов
- Оператор вращения (квантовая механика)
Ссылки
- Bargmann, V. (1954). «On Unitary Ray Representations of Continuous Groups», Annals of Mathematics, Second Series, 59, No. 1 (Jan., 1954), pp. 1-46
- Levy-Leblond, Jean-Marc (1967), Nonrelativistic Particles and Wave Equations, Communications in Mathematical Physics (Springer) . — Т. 6 (4): 286–311, DOI 10.1007/bf01646020.
- Ballentine, Leslie E. Quantum Mechanics, A Modern Development. — World Scientific Publishing Co Pte Ltd., 1998. — ISBN 981-02-4105-4.
- Gilmore, Robert (2006). Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) ISBN 0486445291