Лемма Шура

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы

Представление группы [math]\displaystyle{ G }[/math] автоморфизмами некоторого векторного пространства [math]\displaystyle{ GL(V) }[/math] [math]\displaystyle{ \sigma: G\to GL(V) }[/math] называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] подпространства отличного от 0 и самого [math]\displaystyle{ V }[/math].

Лемма Шура: Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — линейное отображение векторных пространств [math]\displaystyle{ f:V_1\to V_2 }[/math] над некоторым полем [math]\displaystyle{ K }[/math] такое, что существуют два неприводимых представления [math]\displaystyle{ \sigma: G\to GL(V_1) }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau: G\to GL(V_2) }[/math], такие, что [math]\displaystyle{ \tau_g f =f\sigma_g }[/math] для всех [math]\displaystyle{ g }[/math]. Тогда:

1)Если [math]\displaystyle{ f }[/math] не является изоморфизмом, то [math]\displaystyle{ f }[/math] — нулевое отображение.

2)Если [math]\displaystyle{ V_1=V_2 }[/math] конечномерны над алгебраически замкнутым полем [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma=\tau }[/math], то [math]\displaystyle{ f }[/math] является умножением на некоторый элемент поля [math]\displaystyle{ f:x\to\lambda x }[/math].

Доказательство

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ F }[/math] модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм [math]\displaystyle{ f: E \rightarrow F }[/math] является либо нулевым, либо изоморфизмом на [math]\displaystyle{ F }[/math].

В самом деле, так как [math]\displaystyle{ \mathrm{Ker}\, f }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\, f }[/math] являются подмодулями, то если [math]\displaystyle{ f }[/math] ненулевой гомоморфизм, имеем [math]\displaystyle{ \mathrm{Ker}\, f = 0 }[/math], а [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\, f = F }[/math], то есть [math]\displaystyle{ f }[/math] — изоморфизм на весь модуль [math]\displaystyle{ F }[/math].

Теперь определим групповое кольцо [math]\displaystyle{ K[G] }[/math]. Элементами этого кольца будут линейные комбинации [math]\displaystyle{ k_1g_1+k_2g_2+...+k_ng_n }[/math]. Умножение определяется [math]\displaystyle{ (k_1g_1)(k_2g_2)=(k_1k_2)(g_1g_2) }[/math] и далее по линейности. Ясно, что [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] кольцо. На пространстве [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] определим умножение элемента из [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] на элемент [math]\displaystyle{ x\in V_1 }[/math]: [math]\displaystyle{ (k_1g_1+k_2g_2+...+k_ng_n)x=k_1\sigma_{g_1}x+k_2\sigma_{g_2}x+...+k_n\sigma_{g_n}x }[/math]. Тем самым мы превращаем [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] в модуль над кольцом [math]\displaystyle{ K[G] }[/math]. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] является представлением. [math]\displaystyle{ V_2 }[/math] аналогично, заменяя [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] на [math]\displaystyle{ \tau }[/math], будет модулем над [math]\displaystyle{ K[G] }[/math], а равенство [math]\displaystyle{ \tau_g f=f\sigma_g }[/math] то, что отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] является гомоморфизмом модулей. Так как [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau }[/math] неприводимы, а это означает простоту [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ V_2 }[/math] как модулей над [math]\displaystyle{ K[G] }[/math], то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=\lambda x }[/math]. Для любого элемента [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] имеем [math]\displaystyle{ \sigma_g(f-\lambda\operatorname{id})=(f-\lambda\operatorname{id})\sigma_g }[/math], причём для собственного вектора [math]\displaystyle{ (f-\lambda\operatorname{id})(x) = 0, }[/math] следовательно [math]\displaystyle{ f-\lambda\operatorname{id} }[/math] по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, [math]\displaystyle{ f }[/math] является умножением на некоторое [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

Литература

• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1969.