Тензоры в физической кинетике

Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды

Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы [math]\displaystyle{ \mathrm{m} }[/math], импульса [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec{p}} }[/math] и энергии [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

При этом:

• первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
• второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
• третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
• правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.

При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой [math]\displaystyle{ \mathrm{m} }[/math], а зарядом [math]\displaystyle{ \mathrm{q} }[/math].

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:

• сохраняемость в замкнутых системах;
• аддитивность.

Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

[math]\displaystyle{ \mathbf{\Pi}=\begin{array}{|ccc|}\Pi_{11}&\Pi_{12}&\Pi_{13}\\\Pi_{21}&\Pi_{22}&\Pi_{23}\\ \Pi_{31}&\Pi_{32}&\Pi_{33}\\ \end{array} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathrm{\Pi_{mn}=m\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} )\mathrm{v}_m \mathrm{v}_n d^3\mathrm{v}} }[/math],

где

• [math]\displaystyle{ \Pi_{mn} }[/math] – количество [math]\displaystyle{ \mathrm{m} }[/math]-й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]-м направлении.
• [math]\displaystyle{ \mathrm{f( \vec \mathrm{v} )} }[/math] – функция распределения частиц по скоростям.

Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

[math]\displaystyle{ \mathrm{{ \Pi_{11}+\Pi_{22}+\Pi_{33}\over 2}={m\over 2}\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} ) (\mathrm{v}_1^2+\mathrm{v}_2^2+\mathrm{v}_3^2)d^3\mathrm{v}=\varepsilon_K^{(V)}} }[/math]

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

[math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial \ \rho \over \partial\ t}+\nabla \cdot \vec p^{(V)}={ \delta\ \rho\over \delta\ t}} }[/math]

и энергии:

[math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \varepsilon^{(V)} \over \partial\ t}+\nabla \cdot \vec q -\vec V \cdot \vec F^{(V)}={ \delta\ \varepsilon^{(V)} \over \delta\ t}} }[/math].

А именно:

[math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ p_m^{(V)} \over \partial\ t}+\sum_{mn}{\partial\ \Pi_{mn} \over \partial\ r_n} -F_m^{(V)}={ \delta\ p_m^{(V)} \over \delta\ t}} }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ \rho }[/math] – плотность массы;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec p^{(V)}=\rho \vec V} }[/math]– плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec V} }[/math] – среднемассовая скорость;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{\varepsilon^{(V)}=\varepsilon_K^{(V)}+{ \rho \over m}\varepsilon_\chi} }[/math] – плотность энергии;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathrm{\vec q={m\over 2}\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} )\mathrm{v}^2 \vec \mathrm{v}\ d^3\mathrm{v} +\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} )\varepsilon_\chi \vec \mathrm{v}\ d^3\mathrm{v}}} }[/math] – плотность потока энергии;
• [math]\displaystyle{ \varepsilon_\chi }[/math] – внутренняя энергия частицы;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec F^{(V)}} }[/math] – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta \over \delta\ t}} }[/math] – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды).

Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:

• громоздкость;
• необходимость записи в трех проекциях;
• привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

[math]\displaystyle{ \mathrm{\Pi_{mn}=\rho V_mV_n+\delta_{mn}P-\sigma_{mn}^I} }[/math]

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

[math]\displaystyle{ \mathrm{\sigma_{mn}^I=\eta\Biggl({\partial\ V_m \over \partial\ r_n}+{\partial\ V_n \over \partial \ r_m}- {2 \over 3}\delta_{mn}\nabla \sdot \vec V\Biggr)} }[/math]

где  

• [math]\displaystyle{ \mathrm{P} }[/math] – давление;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{\sigma_{mn}^I} }[/math] – компонента тензора вязких напряжений

Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Необходимость выбора

Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

Понятие тензора определенного ранга

В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathrm{I} }[/math]-мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается [math]\displaystyle{ \mathrm{I^M} }[/math] числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство ([math]\displaystyle{ \mathrm{I=3} }[/math]), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math] является величина, которая полностью описывается [math]\displaystyle{ \mathrm{3^M} }[/math] элементами.

В таком случае:

• скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
• вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.

Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:

• единственный элемент, из которого состоит скаляр [math]\displaystyle{ \Phi }[/math], не требует индекса в записи значения;
• каждый из трех элементов [math]\displaystyle{ \mathrm{A_m} }[/math] вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math] обозначается индексом [math]\displaystyle{ \mathrm{m} }[/math], изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
• каждый из [math]\displaystyle{ \mathrm{3^M} }[/math] элементов [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(m_1 m_2 m_3...m_{M-1} m_M)}} }[/math]  тензора [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math]-го ранга [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math] индексами [math]\displaystyle{ \mathrm{m_1 m_2 m_3...m_{M-1} m_M} }[/math], изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо [math]\displaystyle{ \mathrm{m_1 m_2 m_3...m_{M-1} m_M} }[/math] будем писать [math]\displaystyle{ \mathrm{m_1...m_M} }[/math].

В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math]-го ранга  есть тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{e^{(m_1...m_M)}} }[/math], в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице [math]\displaystyle{ \mathrm{m_1...m_M} }[/math]-го элемента.

В таком случае:

• [math]\displaystyle{ e^{(\ \ )} }[/math]: единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
• [math]\displaystyle{ \mathrm{e^{(m)}=i_m} }[/math]: единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Операции с тензорами

Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

 Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec D} }[/math] равен сумме векторов [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec B} }[/math], если элемент вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec D} }[/math] равен сумме соответствующих элементов векторов  [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec B} }[/math]:

1.1. [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec D=\vec A+\vec B} }[/math]          [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]          [math]\displaystyle{ \mathrm{D_m=A_m+B_m} }[/math].

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec D} }[/math] равен произведению вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math] и скаляра [math]\displaystyle{ \mathrm{C} }[/math], если элемент вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec D} }[/math]  равен произведению соответствующего элемента вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math] и скаляра [math]\displaystyle{ \mathrm{C} }[/math]:

1.2. [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec D=C\ \vec A} }[/math]           [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]          [math]\displaystyle{ \mathrm{D_m=C\ A_m} }[/math].

Тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math]-го ранга [math]\displaystyle{ \mathbf D }[/math] равен сумме тензоров такого же ранга [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf B }[/math], если элемент тензора [math]\displaystyle{ \mathbf D }[/math] равен сумме соответствующих элементов тензоров [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf B }[/math]:

1.3. [math]\displaystyle{ \mathbf D=\mathbf A+\mathbf B }[/math]           [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]       [math]\displaystyle{ \mathrm{D^{(m_1...m_M)}=A^{(m_1...m_M)}+B^{(m_1...m_M)}} }[/math].

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор [math]\displaystyle{ \mathbf D }[/math] равен произведению тензора [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] и скаляра [math]\displaystyle{ \mathrm{C} }[/math], если элемент тензора [math]\displaystyle{ \mathbf D }[/math] равен произведению соответствующего элемента тензора [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] и скаляра [math]\displaystyle{ \mathrm{C} }[/math]:

1.4. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf D=C\ \mathbf A} }[/math]           [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]       [math]\displaystyle{ \mathrm{D^{(m_1...m_M)}=C\ A^{(m_1...m_M)}} }[/math].

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math] может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A=\sum_{m}i_m A_m} }[/math].

При этом нет смысла говорить о результате произведения [math]\displaystyle{ \mathrm{i_m A_m} }[/math] – единственный смысл записи [math]\displaystyle{ \mathrm{i_m A_m} }[/math] состоит в указании, что величине [math]\displaystyle{ \mathrm{A_m} }[/math] равен именно  [math]\displaystyle{ \mathrm{m} }[/math]-й элемент вектора .

Тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math]-го ранга [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf A =\sum_{m_1...m_M}e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}} }[/math].

При этом нет смысла говорить о результате произведения [math]\displaystyle{ \mathrm{e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}} }[/math] – единственный смысл записи [math]\displaystyle{ \mathrm{e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}} }[/math] состоит в указании, что величине [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(m_1...m_M)}} }[/math]  равен именно [math]\displaystyle{ \mathrm{m_1...m_M} }[/math]-й элемент тензора [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math].

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. [math]\displaystyle{ \mathrm{i_m A_m=A_m i_m} }[/math].

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8.  [math]\displaystyle{ \mathrm{e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}=A^{(m_1...m_M)} e^{(m_1...m_M)}} }[/math].

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math]-го ранга [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] и тензора [math]\displaystyle{ \mathrm{N} }[/math]-го ранга [math]\displaystyle{ \mathbf B }[/math] является тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{M+N} }[/math]-го ранга [math]\displaystyle{ \mathbf D }[/math], если [math]\displaystyle{ \mathrm{m_1...m_M n_1...n_N} }[/math]-й элемент тензора [math]\displaystyle{ \mathbf D }[/math] равен произведению [math]\displaystyle{ \mathrm{m_1...m_M} }[/math]-го элемента тензора [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{n_1...n_N} }[/math]-го элемента тензора [math]\displaystyle{ \mathbf B }[/math]:

1.9. [math]\displaystyle{ \mathbf D=\mathbf A\ \mathbf B }[/math]           [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]       [math]\displaystyle{ \mathrm{D^{(m_1...m_M n_1...n_N)}=A^{(m_1...m_M)} B^{(n_1...n_N)}} }[/math].

Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{M} }[/math]-го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. [math]\displaystyle{ \mathrm{e^{(m_1...m_M)}=i_{m_1}...i_{m_M}} }[/math].

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf A =\sum_{m_1...m_M}i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}} }[/math],

1.12. [math]\displaystyle{ \mathrm{i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}=i_{m_1}...i_{m_i}A^{(m_1...m_M)}i_{m_{i+1}}...i_{m_M}} }[/math].

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "[math]\displaystyle{ \circ }[/math]", соответствующего трем различным случаям:

1.13.   [math]\displaystyle{ \circ=\bigl( }[/math] "    ", " × ", " · "[math]\displaystyle{ \bigr) }[/math].

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A\circ \vec B=\sum_{mn}\bigl(i_mA_m\bigr)\circ\bigl(i_nB_n\bigr)= \sum_{mn}\bigl(i_m\circ i_n\bigr)A_mB_n=\sum_{mn}A_mB_n\bigl(i_m\circ i_n\bigr)} }[/math],

1.15. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf A\circ \mathbf B=\sum_{\begin{matrix} m_1...m_M \\ n_1...n_N \end{matrix}} \bigl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\bigr)\circ\bigl(i_{n_1}...i_{n_N}B^{(n_1...n_N)}\bigr)=} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} m_1...m_M \\ n_1...n_N \end{matrix}} i_{m_1}...i_{m_{M-1}}A^{(m_1...m_M)}\bigl(i_{m_M}\circ i_{n_1}\bigr)i_{n_2}...i_{n_N}B^{(n_1...n_N)}=} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} m_1...m_M \\ n_1...n_N \end{matrix}} A^{(m_1...m_M)}B^{(n_1...n_N)}i_{m_1}...i_{m_{M-1}}\bigl(i_{m_M}\circ i_{n_1}\bigr)i_{n_2}...i_{n_N}} }[/math].

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. [math]\displaystyle{ \mathrm{i_m i_n=e^{(mn)}} }[/math],

1.17. [math]\displaystyle{ \mathrm{i_m \times i_m=0} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{i_1 \times i_2=-i_2 \times i_1=i_3} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{-i_1 \times i_3=i_3 \times i_1=i_2} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{i_2 \times i_3=-i_3 \times i_2=i_1} }[/math],

1.18. [math]\displaystyle{ \mathrm{i_m \cdot i_n=\delta_{mn}} }[/math],

где   [math]\displaystyle{ \mathrm{\delta_{mn}} }[/math] – символ Кронекера:

1.19. [math]\displaystyle{ \mathrm{{\delta_{mn} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mathrm{m=n} \\ 0, & \mathrm{m \ne n} \end{matrix}\right.}} }[/math].

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math]  в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math] из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. [math]\displaystyle{ \mathrm{A_m=i_m\cdot\vec A=\vec A\cdot i_m} }[/math]

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(m_1...m_M)}=i_{m_M}\cdot\Bigl(...\cdot\Bigl(i_{m_1}\cdot \mathbf A\Bigr)\Bigr)= \Bigl(\Bigl(\mathbf A \cdot i_{m_M}\Bigr)\cdot...\Bigr)\cdot i_{m_1}} }[/math].

Дифференциальные операторы в применении к тензорам

Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона [math]\displaystyle{ \nabla }[/math], имеющего, как известно, запись:

1.22. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla =\sum_{n}i_n {\partial \over \partial\ r_n}} }[/math].

Результатом тензорного действия оператора [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению,  в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla\circ =\biggl(\sum_{n}i_n {\partial \over \partial\ r_n}\biggr)\circ=\sum_{n}i_n \circ{\partial \over \partial\ r_n}} }[/math].

Таким образом, имеем:

• градиент скаляра:

1.24. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla \Phi =\sum_{n}i_n {\partial\ \Phi \over \partial\ r_n}} }[/math];

• ротор вектора:

1.25. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla\times \vec A =\sum_{n}i_n \times{\partial\ \vec A \over \partial\ r_n} =\sum_{nm}i_n \times{\partial \over \partial\ r_n} \bigl(i_mA_m\bigr) =\sum_{nm} \biggl(i_n \times i_m{\partial\ A_m \over \partial\ r_n} +i_n \times {\partial\ i_m \over \partial\ r_n}A_m\biggr)} }[/math];

• дивергенция вектора:

1.26. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla\cdot \vec A =\sum_{n}i_n \cdot{\partial\ \vec A \over \partial\ r_n} =\sum_{nm}i_n \cdot{\partial \over \partial\ r_n} \bigl(i_mA_m\bigr) =\sum_{nm} \biggl(i_n \cdot i_m{\partial\ A_m \over \partial\ r_n} +i_n \cdot {\partial\ i_m \over \partial\ r_n}A_m\biggr)} }[/math].

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:

• градиент тензора произвольного ранга:

1.27. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla \mathbf{A} =\sum_{n}i_n {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n {\partial \over \partial\ r_n} \biggl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr)=} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}\biggl(i_ni_{m_1}...i_{m_M} {\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n{\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)} }[/math];

• ротор тензора ранга выше нулевого:

1.28. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla \times \mathbf{A} =\sum_{n}i_n \times {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n \times {\partial \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr) =} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}\biggl(i_n \times i_{m_1}...i_{m_M} {\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n \times {\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)} }[/math];

• дивергенция тензора ранга выше нулевого:

1.29. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla \cdot \mathbf{A} =\sum_{n}i_n \cdot {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n \cdot {\partial \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr) =} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}} \biggl(i_n \cdot i_{m_1}...i_{m_M}{\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n \cdot {\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)} }[/math].

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla \circ \mathbf{A} =\sum_{n}i_n \circ {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n \circ \biggl({\partial \over \partial\ r_n}i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr) =} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}\biggl(i_n \circ i_{m_1}...i_{m_M}{\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n \circ {\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)} }[/math].

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. [math]\displaystyle{ \mathrm{{\partial \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_1}...i_{m_M}\biggr)= {\partial\ i_{m_1} \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_2}...i_{m_M}\biggr)+ i_{m_1}{\partial\ i_{m_2} \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_3}...i_{m_M}\biggr)+ i_{m_1} i_{m_2}{\partial\ i_{m_3} \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_4}...i_{m_M}\biggr)+...} }[/math]

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты [math]\displaystyle{ \mathrm{{\partial\ i_m \over \partial\ r_n}} }[/math].

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа [math]\displaystyle{ \Delta }[/math]:

1.32. [math]\displaystyle{ \Delta=\nabla^2=\nabla \cdot \nabla }[/math].

Результат действия оператора [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. [math]\displaystyle{ \mathrm{\Delta \mathbf{A} =\sum_{mn}i_m \cdot {\partial \over \partial\ r_m} \biggl(i_n {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n}\biggr)= \sum_{m}\biggl({\partial^2\mathbf{A}\over \partial\ r_m^2}+ \biggl(\sum_{n}i_m \cdot{\partial\ i_n\over \partial\ r_m}\Biggr) {\partial\ \mathbf{A}\over \partial\ r_n}\Biggr)} }[/math].

Некоторые характеристики тензоров второго ранга

• Представление тензора как матрицы

Тензор [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{A}=\begin{array}{|ccc|}A^{(11)}&A^{(12)}&A^{(13)}\\A^{(21)}&A^{(22)}&A^{(23)}\\ A^{(31)}&A^{(32)}&A^{(33)}\\ \end{array}} }[/math].

• След тензора второго ранга

Следом [math]\displaystyle{ \mathrm{Tr\mathbf{A}} }[/math] тензора второго ранга [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] называют сумму его диагональных элементов:

1.35. [math]\displaystyle{ \mathrm{Tr\mathbf{A}=\sum_{n}A^{(nn)}=A^{(11)}+A^{(22)}+A^{(33)}} }[/math].

• Сопряженный тензор

Тензор [math]\displaystyle{ \mathbf{A}^* }[/math]  называют сопряженным тензору [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math], если элементы тензора [math]\displaystyle{ \mathbf{A}^* }[/math] получаются перестановкой индексов элементов тензора [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math]:

1.36. [math]\displaystyle{ \mathbf{B}=\mathbf{A}^* }[/math]           [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]       [math]\displaystyle{ \mathrm{B^{(mn)}=A^{(nm)}} }[/math].

Можно заметить, что:

1.37. [math]\displaystyle{ (\mathbf{A}^*)^*\equiv \mathbf{A} }[/math].

• Симметричный тензор

Тензор [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38. [math]\displaystyle{ \mathbf{A}=\mathbf{A}^* }[/math]           [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]       [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(mn)}=A^{(nm)}} }[/math].

• Унитарный тензор

Унитарный тензор [math]\displaystyle{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} }[/math] есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39. [math]\displaystyle{ \mathrm{\delta^{(mn)}=\delta_{mn}} }[/math]            [math]\displaystyle{ \longrightarrow }[/math]       [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{\boldsymbol{\delta}}=\begin{array}{|ccc|}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}= \sum_{mn}i_m i_n\delta_{mn}=\sum_{n}i_n i_n} }[/math].

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. [math]\displaystyle{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \sdot \mathbf{A}=\mathbf{A} }[/math],

1.41. [math]\displaystyle{ \nabla \sdot\bigl(\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ \mathbf{A}\bigr)=\nabla \mathbf{A} }[/math],

1.42. [math]\displaystyle{ \nabla \sdot\bigl(\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\sdot \mathbf{A}\bigr)=\nabla \mathbf\sdot{A} }[/math],

1.43. [math]\displaystyle{ \nabla \sdot\bigl(\vec A\ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \bigr)= \mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ \nabla \sdot\vec A }[/math],

1.44. [math]\displaystyle{ \nabla \sdot\bigl({\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}}\vec A{\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}} \bigr)=\bigl(\nabla\vec A \bigr)^* }[/math],

где тензор, сопряженный градиенту вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec A} }[/math]:

1.45. [math]\displaystyle{ \mathrm{\bigl(\nabla\vec A \bigr)^*=\sum_{n}{\partial\ \vec A \over \partial\ r_n}i_n} }[/math]

и внутреннее произведение  унитарного тензора и вектора [math]\displaystyle{ \vec A }[/math]:

1.46. [math]\displaystyle{ \mathrm{{\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}}\vec A{\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}}=\sum_{n}i_n\vec A\ i_n} }[/math].

Симметричные тензоры. Операция симметрии

Тензор [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(mn)}=A^{(nm)}} }[/math];

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(kmn)}=A^{(knm)}=A^{(mkn)}=A^{(mnk)}=A^{(nkm)}=A^{(nmk)}} }[/math];

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(ikmn)}=A^{(iknm)}=A^{(imkn)}=A^{(imnk)}=A^{(inkm)}=A^{(inmk)}=} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(ikmn)}=A^{(kinm)}=A^{(mikn)}=A^{(mink)}=A^{(nikm)}=A^{(nimk)}=} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(ikmn)}=A^{(knim)}=A^{(mkin)}=A^{(mnik)}=A^{(nkim)}=A^{(nmik)}=} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(kmni)}=A^{(knmi)}=A^{(mkni)}=A^{(mnki)}=A^{(nkmi)}=A^{(nmki)}} }[/math]

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]-го ранга равно [math]\displaystyle{ \mathrm{n!} }[/math].

Любой тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}} }[/math]  произвольного ранга [math]\displaystyle{ n }[/math] может быть преобразован в симметричный тензор  с помощью операции симметрии:

1.50.[math]\displaystyle{ \mathrm{\bigl\lfloor\mathbf{A}^{[n]}\bigr\rfloor={1 \over n!}\sum\mathbf{A}^{[n]*}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathrm{\sum\mathbf{A}^{[n]*}} }[/math]  – сумма исходного тензора [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}} }[/math]  и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}} }[/math]  уже является симметричным, имеет место [math]\displaystyle{ \mathrm{\bigl\lfloor\mathbf{A}^{[n]}\bigr\rfloor=\mathbf{A}^{[n]}} }[/math].

Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектора

Тензор [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}} }[/math] произвольного ранга [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math] может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec a} }[/math]:

1.51. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}=\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a }_{n}} }[/math].

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. [math]\displaystyle{ \mathrm{\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a }_{n}=\vec a^{\lceil n\rceil}} }[/math].

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках [math]\displaystyle{ \mathrm{\lceil n\rceil} }[/math], чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec a^{\lceil 2\rceil}=\vec a\ \vec a} }[/math]

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec a^2=\vec a\sdot \vec a=|\vec a|^2=a^2} }[/math].

Можно убедиться, что:

1.55. [math]\displaystyle{ \mathrm{\bigl\lfloor\vec a^{\lceil n\rceil}\bigr\rfloor\equiv\vec a^{\lceil n\rceil}} }[/math].

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. [math]\displaystyle{ \mathrm{\bigl(a+b\bigr)^n=\sum_{k=0}^n{n! \over k!(n-k)!}a^{n-k}b^k} }[/math].

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. [math]\displaystyle{ \mathrm{\bigl(\vec a+\vec b\bigr)^{\lceil n\rceil}=\sum_{k=0}^n{n! \over k!(n-k)!} \bigl\lfloor\vec a^{\lceil n-k\rceil}\vec b^{\lceil k\rceil}\bigr\rfloor} }[/math].

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. [math]\displaystyle{ \mathrm{d\ a^n=d(\underbrace{ a\ a... a}_{n})= (\underbrace{ d\ a(\underbrace{ a\ a... a}_{n-1}) + a\ d\ a(\underbrace{a\ a... a}_{n-2})+... }_{n})= n\ a^{\lceil n-1\rceil}d\ a} }[/math].

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. [math]\displaystyle{ \mathrm{d\ \vec a^{\lceil n\rceil}=d(\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a}_{n})= (\underbrace{ d\ \vec a(\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a}_{n-1}) +\vec a\ d\ \vec a(\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a}_{n-2})+... }_{n})= n\lfloor\vec a^{\lceil n-1\rceil}d\ \vec a\rfloor} }[/math].

Кратное скалярное произведение

В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. [math]\displaystyle{ \mathrm{i_{m_1}...i_{m_m}\overset{(k)}{\bullet}i_{n_1}...i_{n_n}= i_{m_1}...i_{m_{m-k}}\bigl(i_{m_{m-k+1}}\sdot i_{n_k}\bigr)...\bigl(i_{m_m}\sdot i_{n_1}\bigr) i_{n_{k+1}}...i_{n_n}} }[/math],

то есть:

1.61. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{C}^{[m+n-2k]}=\mathbf{A}^{[m]}\overset{(k)}{\bullet}\mathbf{B}^{[n]} \sum_{\begin{matrix} m_1...m_m \\ \mathrm{n_1...n_n} \end{matrix}}A^{(m_1...m_m)}B^{(n_1...n_n)} i_{m_1}...i_{m_m}\overset{(k)}{\bullet} i_{n_1}...i_{n_n}} }[/math]

и

1.62. [math]\displaystyle{ \mathrm{C^{(m_1...m_{m+n-2k})}= \sum_{k_1...k_k}A^{(m_1...m_{m-k}k_1...k_k)}B^{(k_1...k_km_{m-k+1}...m_{m+n-2k})}} }[/math].

Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:

1.63. [math]\displaystyle{ \mathrm{A^{(m_1...m_m)}=i_{m_m}...i_{m_1}\overset{(m)}{\bullet}\mathbf{A}^{[m]} =\mathbf{A}^{[m]}\overset{(m)}{\bullet}i_{m_m}...i_{m_1}} }[/math]

Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряжений

 Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:

1.64. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \vec p^{(V)} \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \mathbf{\Pi}={ \delta\ \vec p^{(V)} \over \delta\ t}} }[/math]

Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:

1.65. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{\Pi}=\rho \vec V\ \vec V+\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P-{\boldsymbol{\sigma}}^I} }[/math]

и для тензора вязких напряжений:

1.66. [math]\displaystyle{ \mathrm{{\boldsymbol{\sigma}}^I =2\ \eta\Biggl(\Bigl\lfloor{\nabla V}\Bigr\rfloor- {{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\nabla \sdot \vec V\Biggr)} }[/math].

Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):

1.67. [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec q^\kappa=-\kappa\nabla T} }[/math]

представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин [math]\displaystyle{ \mathrm{{\boldsymbol{\sigma}}^I} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec q^\kappa} }[/math] по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.

Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.

На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.

Уравнения моментов функции распределения

Механические моменты и моменты функции распределения

Основные уравнения газодинамики представляют собой уравнения моментов функции распределения частиц по скоростям. Функция [math]\displaystyle{ \mathrm{f_\alpha(\vec \mathrm{v})} }[/math]

2.1. [math]\displaystyle{ \mathrm{d^2N_\alpha=f_\alpha(\vec \mathrm{v})d^3r\ d^3\mathrm{v}} }[/math],

где

• [math]\displaystyle{ \mathrm{d^3r} }[/math] – элемент объема в пространстве координат;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{d^3v} }[/math] – элемент объема в пространстве скоростей;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{d^2N_\alpha} }[/math] – количество частиц в элементе объема [math]\displaystyle{ \mathrm{d^3r} }[/math] в пространстве координат и элементе объема [math]\displaystyle{ \mathrm{d^3\mathrm{v}} }[/math] в пространстве скоростей.

Инструментом для отыскания функции [math]\displaystyle{ \mathrm{f_\alpha(\vec v)} }[/math]  является кинетическое уравнение:

2.2. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \Bigl(f_\alpha(\vec \mathrm{v})\vec \mathrm{v}\Bigr) +\nabla_\mathrm{v} \cdot \Bigl(f_\alpha(\vec \mathrm{v}) {\vec F_\alpha (\vec \mathrm{v}) \over m_\alpha}\Bigr) ={ \delta\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \delta\ t}} }[/math],

где

• [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec F_\alpha (\vec \mathrm{v})} }[/math]– сила, действующая на частицу сорта [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], имеющую скорость [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec v} }[/math];
• [math]\displaystyle{ \mathrm{\nabla_\mathrm{v}=i_x{ \partial \over \partial\ \mathrm{v}_x}+ i_y{ \partial \over \partial\ \mathrm{v}_y}+i_z{ \partial \over \partial\ \mathrm{v}_z}} }[/math]– оператор Гамильтона в пространстве скоростей;
• [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \delta\ t}} }[/math]– интеграл столкновений – изменение [math]\displaystyle{ \mathrm{f_\alpha(\vec \mathrm{v})} }[/math] в единицу времени в результате столкновений.

Основные механические характеристики частицы представляют собой моменты массы , где момент массы [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})} }[/math] порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math] определяется выражением:

2.3. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil n\rceil}} }[/math].

Например:

• момент массы 0-го порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil n\rceil}} }[/math] представляет собой просто массу частицы;
• момент массы 1-го порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[1]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil 1\rceil}= {m}_\alpha \vec \mathrm{v}} }[/math] представляет собой импульс частицы;
• момент массы 2-го порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[2]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil 2\rceil}= {m}_\alpha \vec \mathrm{v}\ \vec \mathrm{v}} }[/math] представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого [math]\displaystyle{ \mathrm{{ 1 \over 2}Tr\bigl(\mathbf{m}_\alpha^{[2]}(\vec \mathrm{v})\bigr)={ 1 \over 2}m_\alpha \mathrm{v}^2} }[/math] есть кинетическая энергия частицы,

Основные газодинамические параметры представляют собой моменты функции распределения :

2.4. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[n]}=n_\alpha\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})= \textstyle \int \mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})f_\alpha(\vec \mathrm{v})d^3 \mathrm{v} =m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil n \rceil}\rangle} }[/math],

где   

• [math]\displaystyle{ \mathrm{n_\alpha} }[/math] – концентрация (количество частиц в единице объема);
• [math]\displaystyle{ \langle\ \ \rangle }[/math] – символ осреднения по скоростям.

Например:

• момент 0-го порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[0]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 0 \rceil}\rangle =m_\alpha n_\alpha=\rho_\alpha} }[/math] представляет собой плотность массы (массу единицы объема);
• момент 1-го порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[1]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 1 \rceil}\rangle =m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}\rangle=\vec p_\alpha^{(V)}} }[/math] представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);
• момент 2-го порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[2]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 2 \rceil}\rangle =m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}\ \vec \mathrm{v}\rangle=\mathbf{\Pi}_\alpha} }[/math] представляет собой плотность потока импульса (кинетический тензор, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого [math]\displaystyle{ \mathrm{{1 \over 2}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf{M}_\alpha^{[2]}= \varepsilon_\alpha^{V}} }[/math] есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);
• момент 3-го порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[3]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 3 \rceil}\rangle =m_\alpha n_\alpha\langle\vec v\ \vec v\ \vec v\rangle=\mathbf{Q}_\alpha} }[/math] представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого [math]\displaystyle{ \mathrm{{1 \over 2}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf{M}_\alpha^{[3]}=\vec q_\alpha} }[/math] равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности).

Похожее описание приведено в работе R. Fitzpatrick Plasma Physics : An Introduction, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка [math]\displaystyle{ \mathbf{Q}_\alpha }[/math].

Уравнения моментов функции распределения

Уравнение момента [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]-го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]-го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.

В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:

2.5. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \partial\ t}+\nabla \cdot \mathbf{M}_\alpha^{[n+1]} -n{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \times \vec B+ \mathbf{M}_\alpha^{[n-1]} \vec E\bigr\rfloor ={ \delta\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \delta\ t}} }[/math],

где   [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \delta\ t}} }[/math]   – изменение момента   в единицу времени в результате столкновений:

2.6. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \delta\ t}= {\textstyle \int} \mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v}){ \delta\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \delta\ t}d^3 \mathrm{v}} }[/math].

В зависимости от порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):

• при [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]=0 – уравнение непрерывности:

2.7. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \rho_\alpha \over \partial\ t}+\nabla \cdot \vec p_\alpha^{(V)} ={ \delta\ \rho_\alpha \over \delta\ t}} }[/math];

• при [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]=1 – уравнение движения:

2.8. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \vec p_\alpha^{(V)} \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \mathbf{\Pi}_\alpha -{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl( \vec p_\alpha^{(V)} \times \vec B+ \rho_\alpha \vec E\bigr) ={ \delta\ \vec p_\alpha^{(V)} \over \delta\ t}} }[/math];

• при [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]=2 – уравнение потока импульса:

2.9. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf{\Pi}_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \mathbf Q_\alpha -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{\Pi}_\alpha \times \vec B+ \vec p_\alpha^{(V)} \vec E\bigr\rfloor ={ \delta\ \mathbf{\Pi}_\alpha \over \delta\ t}} }[/math];

• при [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]=3 – уравнение моменте третьего порядка:

2.10. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf Q_\alpha \over \partial\ t}+\nabla \cdot \mathbf{M}_\alpha^{[4]} -3{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf Q_\alpha \times \vec B+ \mathbf{\Pi}_\alpha \vec E\bigr\rfloor={ \delta\ \mathbf Q_\alpha \over \delta\ t}} }[/math].

Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментов

На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента [math]\displaystyle{ \mathrm{n} }[/math]-го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка [math]\displaystyle{ \mathrm{n+1} }[/math].

В любом описании система уравнений газодинамики замыкается приближенно с использованием предположений того или иного уровня точности.

Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей статических моментов.

Сопутствующей системой координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе  (хаотическая скорость) может быть представлена так:

2.11. [math]\displaystyle{ \vec v\mathrm{=\vec \mathrm{v}-\vec V_\alpha} }[/math].

При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости [math]\displaystyle{ \mathrm{\vec V_\alpha=\langle\vec \mathrm{v}\rangle} }[/math] имеем:

2.12. [math]\displaystyle{ \langle\vec {v}\rangle\equiv0 }[/math].

Таким образом, первый момент  (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.

Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и  могут находиться подстановкой [math]\displaystyle{ \vec v }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \vec\mathrm{v} }[/math] в выражения для моментов функции распределения:

2.13. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf P_\alpha=m_\alpha n_\alpha}\langle\vec v\ \vec v\rangle }[/math],

2.14. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf G_\alpha=m_\alpha n_\alpha}\langle\vec v\ \vec v\ \vec v\rangle }[/math],

2.15. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf W_\alpha=m_\alpha n_\alpha}\langle\vec v\ \vec v\ \vec v\ \vec v\rangle }[/math],

где 

• [math]\displaystyle{ \mathbf P_\alpha }[/math] – тензор давления компоненты, равный кинетическому тензору [math]\displaystyle{ \mathbf{\Pi}_\alpha }[/math] в сопутствующей системе координат;
• [math]\displaystyle{ \mathbf G_\alpha }[/math] – третий статический момент, равный третьему моменту [math]\displaystyle{ \mathbf Q_\alpha }[/math] в сопутствующей системе координат;
• [math]\displaystyle{ \mathbf W_\alpha }[/math] – четвертый статический момент, равный четвертому моменту [math]\displaystyle{ \mathbf{M}_\alpha^{[4]} }[/math] в сопутствующей системе координат.

Тензор [math]\displaystyle{ \mathbf G_\alpha }[/math] можно условно называть потоком давления.

Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:

2.16. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{\Pi}_\alpha=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha+\mathbf P_\alpha} }[/math],

2.17. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf Q_\alpha=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha\vec V_\alpha +3\bigl\lfloor\vec V_\alpha\mathbf P_\alpha\bigr\rfloor+\mathbf G_\alpha} }[/math],

2.18. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[4]}=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha\vec V_\alpha\vec V_\alpha +6\bigl\lfloor\vec V_\alpha\vec V_\alpha\mathbf P_\alpha\bigr\rfloor +4\bigl\lfloor\vec V_\alpha\mathbf G_\alpha\bigr\rfloor +\mathbf W_\alpha} }[/math].

При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать уравнение давления:

2.19. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf P_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\mathbf P_\alpha+\mathbf G_\alpha\bigr) -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf P_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +2\bigl\lfloor \mathbf P_\alpha \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor ={ \delta\ \mathbf P_\alpha \over \delta\ t}} }[/math]

и уравнение потока давления:

2.20. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf G_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\mathbf G_\alpha+\mathbf W_\alpha\bigr) -3{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf G_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +3\biggl\lfloor \mathbf G_\alpha \nabla \vec V_\alpha- { \mathbf P_\alpha \nabla \sdot \mathbf P_\alpha\over \rho_\alpha}\biggr\rfloor ={ \delta\ \mathbf G_\alpha \over \delta\ t}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta\ \mathbf P_\alpha \over \delta\ t}} }[/math]  и [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta\ \mathbf G_\alpha \over \delta\ t}} }[/math] – изменения [math]\displaystyle{ \mathbf P_\alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf G_\alpha }[/math] в единицу времени в результате столкновений, равные:

2.21. [math]\displaystyle{ { \delta \mathbf P_\alpha \over \delta t}={ \delta \mathbf \Pi_\alpha \over \delta t} -2\biggl\lfloor \vec V_\alpha { \delta \vec p_\alpha^{(V)} \over \delta t}\biggr\rfloor +\vec V_\alpha{ \delta \rho_\alpha\over \delta t} }[/math]

2.22. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta\ \mathbf G_\alpha \over \delta\ t}={ \delta\ \mathbf Q_\alpha \over \delta\ t} -3\Biggl\lfloor \vec V_\alpha { \delta\ \mathbf \Pi_\alpha \over \delta\ t}+ { \mathbf P_\alpha-\vec V_\alpha\vec p_\alpha^{(V)} \over \rho_\alpha} \biggl({ \delta\ \vec p_\alpha^{(V)} \over \delta\ t} -\vec V_\alpha{ \delta\ \rho_\alpha \over \delta\ t}\biggr)\Biggr\rfloor} }[/math].

Можно заметить, что половина следа тензора [math]\displaystyle{ \mathbf G_\alpha }[/math] представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:

2.23. [math]\displaystyle{ \mathrm{{1 \over 2}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf G_\alpha=\vec q_\alpha^\kappa} }[/math].

Следует также отметить, что понятие тензора вязких напряжений является реликтом, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.

На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса вместе с частицами, а не результата обмена импульсами (действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:

2.24. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{\Pi}_\alpha=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha+ \mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P_\alpha+\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha }[/math] – тензор вязкости, равный:

2.25. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha=\mathbf P_\alpha-\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P_\alpha =-{\boldsymbol{\sigma}}^I} }[/math].

Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha=-{\boldsymbol{\sigma}}^I} }[/math] между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса вместе с молекулами и тензором вязких напряжений как "силой", действующей на объем.

Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге Б. Росси и С. Ольберта "Introduction to the physics of space" , но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора [math]\displaystyle{ \mathbf G_\alpha }[/math].

Приближение третьего ранга

Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче.

Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга [math]\displaystyle{ \mathbf W_\alpha }[/math]. При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по [math]\displaystyle{ \vec v }[/math] распределении.

Например, при максвелловском распределении имеет место равенство:

2.26. [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf W_\alpha=3\bigl\lfloor\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\mathbf{\boldsymbol{\delta}} \bigr\rfloor{P_\alpha P_\alpha\over \rho_\alpha}} }[/math].

В работе предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):

2.27. [math]\displaystyle{ \mathbf W_\alpha=3{ \bigl\lfloor\mathbf P_\alpha \mathbf P_\alpha\bigr\rfloor\over \rho_\alpha} }[/math].

В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид

2.28. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf G_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\mathbf G_\alpha\bigr) -3{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf G_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +3\bigl\lfloor \mathbf G_\alpha \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor +3\biggl\lfloor \mathbf P_\alpha \sdot\nabla \biggl({ \mathbf P_\alpha\over \rho_\alpha}\biggr)\biggr\rfloor ={ \delta\ \mathbf G_\alpha \over \delta\ t}} }[/math],

то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.

Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления [math]\displaystyle{ \mathrm{P_\alpha={ 1 \over 3}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf P_\alpha} }[/math]:

2.29. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ P_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha P_\alpha+{2 \over 3}\vec G_\alpha\bigr) +{2 \over 3}\bigl\lfloor P_\alpha \nabla \sdot \vec V_\alpha +(\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha\sdot\nabla)\sdot\vec V_\alpha\bigr\rfloor ={ \delta\ P_\alpha \over \delta\ t}} }[/math].

С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:

2.30. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \biggl(\vec V_\alpha\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha+\mathbf G_\alpha -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\vec q_\alpha^\kappa\biggr) -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +2 P_\alpha\biggl(\bigl\lfloor \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\nabla \sdot \vec V_\alpha\biggr) ={ \delta\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \delta\ t}} }[/math].

Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя [math]\displaystyle{ \mathrm{\mathbf P_\alpha=\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P_\alpha} }[/math] (как при максвелловском распределении) можно показать для теплопроводности:

2.31. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \vec q_\alpha^\kappa \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\vec q_\alpha^\kappa\bigr) +{3 \over 2}\vec q_\alpha^\kappa \sdot\nabla \vec V_\alpha -{3 \over 2}{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \vec q_\alpha^\kappa \times \vec B\bigr\rfloor +{5 \over 2} {P_\alpha k \over \rho_\alpha} \nabla T_\alpha ={ \delta\ \vec q_\alpha^\kappa \over \delta\ t}} }[/math].

Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так:

2.32. [math]\displaystyle{ \mathrm{{\delta\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \delta\ t}= -{3 \over 2}{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} }[/math],

2.33. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \delta\ \vec q_\alpha^\kappa \over \delta\ t}= -{\vec q_\alpha^\kappa \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathrm{\tau^d_{\alpha\alpha}} }[/math]– эффективное время передачи давления.

Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:

2.34. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \biggl(\vec V_\alpha\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha+\mathbf G_\alpha -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\vec q_\alpha^\kappa\biggr) -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +2 P_\alpha\biggl(\bigl\lfloor \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\nabla \sdot \vec V_\alpha\biggr) =-{3 \over 2}{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} }[/math],

2.35. [math]\displaystyle{ \mathrm{{ \partial\ \vec q_\alpha^\kappa \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\vec q_\alpha^\kappa\bigr) +{3 \over 2}\vec q_\alpha^\kappa \sdot\nabla \vec V_\alpha -{3 \over 2}{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \vec q_\alpha^\kappa \times \vec B\bigr\rfloor +{5 \over 2} {P_\alpha k \over \rho_\alpha} \nabla T_\alpha =-{\vec q_\alpha^\kappa \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} }[/math].

Граничные условия и характеристики столкновений

Можно заметить, что "классические" выражения для вязкости и теплопроводности можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях только последние слагаемые. Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.

Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).

Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует пространственный слой заряда (ленгмюовский слой), по своей природе неоднородный и нестационарный. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является зеркальным - происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.

Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах.

Актуальным остается вопрос о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом упругих и неупругих столкновений в объеме.

См. также

• Физическая кинетика
• Статистическая физика
• Физика плазмы

Литература

• Речкалов В.Г. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: Учебное пособие для вузов [текст]/ В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с.