Упругое рассеяние

Упру́гое рассе́яние — процесс взаимодействия (рассеяния) частиц, при котором их внутренние состояния остаются неизменными, а меняются лишь импульсы. Все другие варианты рассеяния частиц являются неупругими (например, если в ходе взаимодействия меняется число частиц или внутреннее состояние хотя бы одной из частиц). Кинетическая энергия и импульс частицы не считаются её внутренним состоянием.

В нерелятивистском классическом случае при рассеянии частицы с массой m₁ на частице с массой m₂ в системе отсчёта, в которой вторая частица до столкновения покоилась, из законов сохранения энергии и импульса следует:

[math]\displaystyle{ m_1 v_1^2 = m_1 v_1'^2 + m_2 v_2'^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ m_1 v_1' \sin\alpha = m_2 v_2' \sin\beta, }[/math]

[math]\displaystyle{ m_1 v_1 =m_1 v_1' \cos\alpha + m_2 v_2' \cos\beta, }[/math]

где [math]\displaystyle{ v_1',\, v_2' }[/math] — скорости частиц после столкновения,

[math]\displaystyle{ \alpha,\, \beta }[/math] — углы, под которыми направлены скорости соответственно частиц 1 и 2 после столкновения по отношению к направлению движения частицы 1 до столкновения.

Угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] называется углом рассеяния. Величины допустимых углов рассеяния определяются неравенством [math]\displaystyle{ \sin\alpha \le m_2/m_1. }[/math]

В квантовой нерелятивистской теории упругое рассеяние бесспиновых частиц на бесконечности (т.е. при расстоянии между сталкивающимися частицами [math]\displaystyle{ r \to \infty }[/math]) можно описать решением уравнения Шрёдингера:

[math]\displaystyle{ \psi(\mathbf{r})_{r\to\infty} \sim e^{i\mathbf{kr}} + f(\vartheta)r^{-1}e^{i\mathbf{kr}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{k}=\mathbf{p}/\hbar }[/math] — волновой вектор частицы,

[math]\displaystyle{ \mathbf{p} }[/math] — импульс частицы в системе центра масс,

[math]\displaystyle{ \vartheta }[/math] — угол рассеяния,

[math]\displaystyle{ f(\vartheta) }[/math] — амплитуда рассеяния, которая зависит от угла рассеяния и энергии частиц.

В этом выражении первый член описывает падающие частицы, второй — рассеянные частицы.

Квадрат модуля амплитуды рассеяния в данный угол в системе центра масс равен дифференциальному сечению рассеяния — отношению числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла [math]\displaystyle{ d\Omega, }[/math] к плотности потока частиц:

[math]\displaystyle{ |f(\vartheta)|^2 = \frac{d\sigma}{d\Omega}. }[/math]

Амплитуду рассеяния можно разложить в ряд по парциальным волнам, имеющим физический смысл состояний с определённым орбитальным моментом L:

[math]\displaystyle{ f(\vartheta) = \frac{1}{2ik}\sum^\infty_{L=0}(2L+1)(S_L-1)P_L(\cos\vartheta), }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_L(\cos(\theta)) }[/math] — многочлены Лежандра,

[math]\displaystyle{ S_L=e^{2i\delta_L} }[/math] — элементы матрицы рассеяния — комплексные функции энергии, зависящие от характера взаимодействия.

Для упругого рассеяния [math]\displaystyle{ S_L=e^{2i\delta_L}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \delta_L }[/math] — фаза рассеяния данной парциальной волны.

В случае упругого рассеяния число падающих частиц с данным орбитальным моментом L равно числу рассеянных частиц с тем же моментом, и [math]\displaystyle{ |S_L|=1. }[/math]

Амплитуда парциальной волны может быть выражена через элемент S-матрицы и фазу рассеяния как

[math]\displaystyle{ f_L = \frac{S_L-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_L}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_L} \sin\delta_L}{k} = \frac{1}{k\operatorname{ctg}\delta_L-ik}. }[/math]

Полное сечение упругого рассеяния [math]\displaystyle{ \sigma^\text{el} }[/math] равно сумме парциальных сечений со всеми возможными орбитальными моментами:

[math]\displaystyle{ \sigma^\text{el} = \sum^\infty_{L=0}\sigma^\text{el}_L, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma^\text{el}_L = \pi\lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }}{}^2(2L+1)|S_L-1|^2, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }} = 1/k }[/math] — де-бройлевская длина волны частицы.

Максимальное парциальное сечение (резонанс в упругом рассеянии) достигается при [math]\displaystyle{ S_L=-1 ; }[/math] оно равно

[math]\displaystyle{ \left(\sigma^\text{el}_L\right)_\text{max} = 4\pi\lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }}{}^2(2L+1), }[/math]

причём фаза рассеяния [math]\displaystyle{ \delta_L=\pi/2. }[/math] Следовательно, для резонансных условий сечение упругого рассеяния определяется де-бройлевской длиной волны и, если частица имеет малый импульс (соответственно большую длину волны [math]\displaystyle{ \lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }}, }[/math] значительно превосходящую классический радиус [math]\displaystyle{ R_0 }[/math] рассеивающей частицы), наблюдаемое сечение может значительно превосходить классическое сечение рассеяния [math]\displaystyle{ \pi R_0^2. }[/math]

Примеры упругого рассеяния

Рэлеевское рассеяние — рассеяние света на объектах, размеры которых меньше его длины волны.
Томсоновское рассеяние — рассеяние фотонов на электронах (или других заряженных частицах) в частном случае, когда энергия фотона пренебрежимо мала по сравнению с массой рассеивающей частицы.
Комптоновское рассеяние (комптон-эффект) — общий случай рассеяния фотонов на электронах (или других заряженных частицах); при стремлении энергии фотонов к нулю переходит в томсоновское рассеяние.
Обратное комптоновское рассеяние — рассеяние электронов (или других заряженных частиц) на фотонах.
Резерфордовское рассеяние (кулоновское рассеяние) — нерелятивистское рассеяние тяжёлых заряженных частиц (в частности, альфа-частиц) на ядрах атомов.

См. также

Источники

Упругое рассеяние // Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — 928 с. — 100 000 экз.
Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики (рус.). — К.: Наукова думка, 1989. — С. 31—32. — 864 с.
Биленький С. М. Рассеяние микрочастиц // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга — Робертсона — Стримеры. — С. 271—273. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.