Среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

[math]\displaystyle{ G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} }[/math]

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое [math]\displaystyle{ g }[/math] двух чисел [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] обладает следующим свойством: [math]\displaystyle{ \frac{a_1}{g} = \frac{g}{a_2} }[/math], то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Свойства

• Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

[math]\displaystyle{ \operatorname{min}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant G(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant \operatorname{max}(x_1, x_2, \ldots, x_n). }[/math]

• Среднее геометрическое двух чисел [math]\displaystyle{ a=A_0, b=G_0 }[/math] является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

[math]\displaystyle{ A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},\quad G_i=\sqrt{A_{i-1}G_{i-1}}. }[/math]

• Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического.

Среднее геометрическое взвешенное

Основная статья: Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math] с вещественными весами [math]\displaystyle{ w_1, \ldots, w_n }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right). }[/math]

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Среднее геометрическое отрезков:
[math]\displaystyle{ BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab} }[/math]

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных [math]\displaystyle{ A_g(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt[g]\frac{x_1^g+\ldots+x_n^g}{n} }[/math] при [math]\displaystyle{ g\to 0 }[/math].
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при [math]\displaystyle{ \phi(x)=\ln x }[/math].

См. также

• Геометрическая пропорция
• Геометрическая прогрессия
• Неравенство Швейцера