Выборочное среднее

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n }[/math] — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math]. Тогда её выборочным средним называется случайная величина

[math]\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math].

Свойства выборочного среднего

• Пусть [math]\displaystyle{ \hat{F}(x) }[/math] — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega }[/math] функция [math]\displaystyle{ \hat{F}(\omega,x) }[/math] является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно [math]\displaystyle{ \overline{X}(\omega) }[/math].

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\bar{X}\right] = \mathbb{E}[X_i],\quad i=1,\ldots, n }[/math].

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

[math]\displaystyle{ \overline{X} \to \mathbb{E}[X_i] }[/math] почти наверное при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math].

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин [math]\displaystyle{ X_i }[/math] конечна и ненулевая, то есть [math]\displaystyle{ \mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 \lt \infty, \sigma^2 \not=0,\; i=1,\ldots, n }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \sqrt{n} \left(\overline{X} - \mathbb{E}[X_1]\right) \to \mathrm{N}(0,\sigma^2) }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathrm{N}(0,\sigma^2) }[/math] — нормальное распределение со средним [math]\displaystyle{ 0 }[/math] и дисперсией [math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math].

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

См. также

• Выборочная дисперсия
• Выборочные моменты